Trygonometria rozszerzenie

[PATRO02]

Mam problem z rozwiązaniem zadania takim sposobem.
Założenie: \(x\in\langle0; \pi\rangle\)
\(\cos2x= \frac{ \sqrt{2} }{2}(\cos x-\sin x)\\
\cos^2x-\sin^2x= \frac{ \sqrt{2} }{2}\cos x- \frac{ \sqrt{2} }{2}\sin x\\
\cos^2x- \frac{ \sqrt{2} }{2}\cos x=sin^2x- \frac{ \sqrt{2} }{2}\sin x \\
\cos x(\cos x- \frac{ \sqrt{2} }{2})=\sin x(\sin x- \frac{ \sqrt{2} }{2})\)
Dałoby radę zrobić cos z takim zapisem?
Da się to rozwiązać w taki sposób?
Wiem, że są inne sposoby, ale może da radę cos z tym zrobic?

[Icanseepeace]

Raczej nic nie wykombinujesz.
Ewentualnie przejście na kąty połówkowe, ale to będzie zdecydowanie przerost formy nad treścią.
Zastosuj wspomniane przez siebie inne sposoby.

[PATRO02]

Dobra, dzięki.

[Jerry]

Ja bym zasugerował rozwiązanie dwóch przypadków:

1. \(\cos x-\sin x=0\)
2. \(\cos x-\sin x\ne0\) i podzielić równanie stronami

Pozdrawiam

[anilewe_MM]

Mam pytanie: można dalej tak
\(\cos x+\sin x= \frac{ \sqrt{2} }{2}\)
do kwadratu
\(1+\sin2x=\frac{1}{2}\)
\(\sin2x=-\frac{1}{2}\)
\(x=\frac{7}{12}\pi\) lub \(x=\frac{11}{12}\pi\)

[Icanseepeace]

Mam pytanie: można dalej tak
\(\cos x+\sin x= \frac{ \sqrt{2} }{2}\)
do kwadratu
\(1+\sin2x=\frac{1}{2}\)
\(\sin2x=-\frac{1}{2}\)
\(x=\frac{7}{12}\pi\) lub \(x=\frac{11}{12}\pi\)

Nie można - dodasz sobie dodatkowe rozwiązania z równania:
\( \sin x + \cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \)

[Jerry]

Chyba, że tak:
\(\cos x+\sin x= \frac{ \sqrt{2} }{2}\iff\begin{cases}\cos x+\sin x\ge0\\ 1+\sin2x=\frac{1}{2}\end{cases}\)
to... możesz

Pozdrawiam