Zbadaj zbieżność szeregu

[jjjjjj]

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-2(-1)^n}{n} \)
Próbuję rozpisać tak:
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-2(-1)^n}{n} = \frac{3}{1} - \frac{1}{2} + \frac{3}{3} - \frac{1}{4} + \frac{3}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{3}{2k+1} - \frac{1}{2k} \\ = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{3}{2k+1} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)}{2k} \)
\(b_k = \frac{3}{2k+1}\\ \frac{1}{k}= \frac{3}{3k} \le \frac{3}{2k+1} \\\sum_{k=1}^{\infty} \frac{3}{2k+1} - rozbieżny\)
\(\\c_k=\frac{-1}{2k}
\\ -1* \frac{1}{k} =\frac{-1}{k} \le \frac{-1}{2k} \)
\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)}{2k} \) rozbieżny
Czy to pokazuje, że ten pierwszy szereg jest rozbieżny? Chyba przeszkadza to, że w drugim podszeregu będą wyrazy ujemne, jak zrobić to inaczej?

[panb]

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-2(-1)^n}{n} \)

Dobrze kombinujesz.
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-2(-1)^n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{3}{2n-1} - \frac{1}{2n} \right]= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4n+1}{2n(2n-1)} \]
Ten szereg jest (faktycznie) rozbieżny, bo \( \displaystyle \frac{4n+1}{2n(2n-1)} \ge \frac{4n}{2n\cdot2n}= \frac{1}{n} \)