granice Krysicki 12.63

[VladP]

zbyt krytycznie się oceniłam. Nie widzę błędu, a wynik rzeczywiście inny (ale tylko z lewej strony )- u Krysickiego podają \(\infty\) ale jak oni ten zbiór pisali to jeszcze nie było takiego narzędzia jak geogebra, pomylili się...

podobnie wychodzi po "potraktowaniu tangensa Tylorem" : \(tg(x) \approx x + x^3/3\)

[kate84]

Dziekuje za pomoc!! Wielka jesteś

[gr4vity]

No dobra, wyszło:
\(\Lim_{x\to 0} \left( \frac{\tg x}{x} \right)^ \frac{1}{x^2}=\Lim_{x\to 0} \left( 1+\frac{\tg x}{x}-1 \right)^ \frac{1}{x^2}=
\Lim_{x\to 0} \left( 1+\frac{\tg x-x}{x} \right)^ \frac{1}{x^2}=\Lim_{x\to 0} \left( 1+\frac{\tg x-x}{x} \right)^{\frac{x}{\tg x-x} \cdot \frac{\tg x-x}{x} \frac{1}{x^2}}=\Lim_{x\to 0} e^{\frac{\tg x-x}{x^3}}\)
policzmy sobie "na boczku"
\(\Lim_{x\to 0 }\frac{\tg x-x}{x^3}=^H=\Lim_{x\to 0 }\frac{ \frac{1}{\cos^2x} -1}{3x^2}=\Lim_{x\to 0 }\frac{ 1-\cos^2x}{3x^2\cos^2x}=\Lim_{x\to 0 }\frac{ \sin^2x}{3x^2\cos^2x}= \frac{1}{3} \Lim_{x\to 0 }\frac{ \tg^2x}{x^2}= \frac{1}{3}\)
Bingo !

Dlaczego do obliczenia tej granicy możemy stosować wzór: \(\Lim_{x\to \infty}(1+ \frac{a}{x})^{x}=e^{a} \) skoro \(x\) dąży do zera a nie do nieskończoności?

[radagast]

jak x dąży do 0, to \( \frac{1}{x} \) dąży do \( \infty \)

[gr4vity]

jak x dąży do 0, to \( \frac{1}{x} \) dąży do \( \infty \)

Rozumiem natomiast na tym etapie:
\(\Lim_{x\to 0} \left( \frac{\tg x}{x} \right)^ \frac{1}{x^2}=\Lim_{x\to 0} \left( 1+\frac{\tg x}{x}-1 \right)^ \frac{1}{x^2}=
\Lim_{x\to 0} \left( 1+\frac{\tg x-x}{x} \right)^ \frac{1}{x^2}\)
Aby to przekształcić w domyśle mamy takie wyrażenie:

\(\Lim_{x\to 0} \left( 1+\frac{\tg x}{x}-1 \right)^ \frac{1}{x^2}=
\Lim_{x\to 0} \left( 1+\frac{1}{ \frac{x}{\tg x-x} } \right)^ {\frac{x}{\tg x-x} \cdot \frac{\tg x-x}{x} \frac{1}{x^2}}=\Lim_{x\to 0} e^{\frac{\tg x-x}{x^{3}}}\)

Przecież wyrażenie: \( \frac{x}{\tg x-x} \) w zerze nie dąży do nieskończoności :/

[radagast]

dąży !
\( \Lim_{x\to 0} \frac{x}{\tg x-x} =^H \Lim_{x\to 0} \frac{1}{\ \frac{1}{cos^2x} -1} = \frac{1}{0}= \infty \)
pozostaje do ustalenia jeszcze znak tej nieskończoności (pobaw się tym sam )

[gr4vity]

Ehh rzeczywiście, przepraszam za zamieszanie, zmęczony jestem