Rozwiąż nierówność

[mvjvk]

Rozwiąż nierówność:
\( \sqrt{x^4-x^2} \le 4-x^2\)

[eresh]

Rozwiąż nierówność:
\( \sqrt{x^4-x^2} \le 4-x^2\)

\(x^4-x^2\geq 0\\
x^2(x^2-1)\geq 0\\
x^2(x-1)(x+1)\geq 0\\
x\in (-\infty,-1]\cup [1,\infty)\cup \{0\}\)

1. jeśli \(4-x^2<0\), to nierówność jest sprzeczna
2. dla \(4-x^2\geq 0\):
\(\sqrt{x^4-x^2}\leq 4-x^2\\
x^4-x^2\leq 16-8x^2+x^4\\
7x^2-16\leq 0\\
(\sqrt{7}x-4)(\sqrt{7}x+4)\leq 0\\
x\in [\frac{-4}{\sqrt{7}},\frac{4}{\sqrt{7}}]\)

biorąc pod uwagę dziedzinę:
\(x\in [-\frac{4}{\sqrt{7}},-1]\cup [1,\frac{4}{\sqrt{7}}]\cup\{0\}\)