Dowodzenie z zastosowaniem średnich.

[Januszgolenia]

Wykaż, że jeśli liczby x, y, z sa dodatnie, to \(xy(3x+2y-4z)+yz(y+3z-4x)+xz(x+2z-4y) \ge 0\)

[eresh]

Wykaż, że jeśli liczby x, y, z sa dodatnie, to \(xy(3x+2y-4z)+yz(y+3z-4x)+xz(x+2z-4y) \ge 0\)

\(xy(3x+2y-4z)+yz(y+3z-4x)+xz(x+2z-4y)=\\
=3x^2y+2xy^2-4xyz+y^2z+3yz^2-4xyz+x^2z+2z^2x-4zyx=\\
=3y(x^2+z^2)+2x(y^2+z^2)+z(y^2+x^2)-12zyx=\\
=xyz(\frac{3(x^2+z^2)}{xz}+\frac{2(y^2+z^2)}{yz})+\frac{y^2+x^2}{xy}-12)\geq xyz(\frac{3(2xz)}{xz}+\frac{2(2yz)}{yz})+\frac{2xy}{xy}-12)\\
xy(3x+2y-4z)+yz(y+3z-4x)+xz(x+2z-4y)\geq xyz(6+4+2-12)\\
xy(3x+2y-4z)+yz(y+3z-4x)+xz(x+2z-4y)\geq 0
\)

[Jerry]

Albo:
Nierówność
\(xy(3x+2y-4z)+yz(y+3z-4x)+xz(x+2z-4y) \ge 0\)
jest równoważna, dla \(x,y,z\in\rr_+\), nierówności:

\({xy(3x+2y-4z)+yz(y+3z-4x)+xz(x+2z-4y)\over xyz} \ge 0\)
\(L_T=3\cdot{x\over z}+2\cdot{y\over z}-4+{y\over x}+3\cdot{z\over x}-4+{x\over y}+2\cdot{z\over y}-4=\\
\quad =3\left({x\over z}+{z\over x}\right)+2\left({y\over z}+{z\over y}\right)+\left({y\over x}+{x\over y}\right)-12\color{red}{\ge} 3\cdot2+2\cdot2+2-12=0=P_T\)
i równość zachodzi dla \(x=y=z\)
\[\color{red}{ \text{Dla }a>0\text{ mamy: } a+{1\over a}\ge2\\ \text{i równość zachodzi dla } a=1}\]
Pozdrawiam

[kerajs]

\(xy(3x+2y-4z)+yz(y+3z-4x)+xz(x+2z-4y)=\\
=3x^2y+2xy^2-4xyz+y^2z+3yz^2-4xyz+x^2z+2z^2x-4zyx=\\
=3y(x^2+z^2)+2x(y^2+z^2)+z(y^2+x^2)-12zyx=
\)

1) bez średnich:
\(=3y(x^2+z^2-2xz)+2x(y^2+z^2-2yz)+z(y^2+x^2-2xy)=3y(x-z)^2+2x(y-z)^2+z(x-y)^2 \ge 0\)
1) (na siłę) ze średnimi:
\(=6y \cdot \frac{x^2+z^2}{2}+4x \cdot \frac{y^2+z^2}{2}+2z \cdot \frac{x^2+y^2}{2}-12zyx \ge 6y \sqrt{x^2z^2}+4x\sqrt{y^2z^2}+2z\sqrt{x^2y^2} -12xyz=\\=6yxz+4xyz+2zxy-12xyz=0\)