Dowodzenie z zastosowaniem średnich.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Dowodzenie z zastosowaniem średnich.
Wykaż, że jeśli liczby a, b, c są dodatnie, to \( \frac{1}{ \sqrt{ab} }+ \frac{1}{ \sqrt{ac} }+ \frac{1}{ \sqrt{bc} } \ge 2( \frac{1}{a+b}+ \frac{1}{a+c}+ \frac{1}{b+c})\).
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Dowodzenie z zastosowaniem średnich.
Z nierówności między średnią geometryczną i harmoniczną mamy:
\( \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \So \frac{2}{\frac{a + b}{ab}} \leq \sqrt{ab} \So \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \So \frac{2}{a+b} \leq \frac{1}{\sqrt{ab}}\)
W analogiczny sposób dostajemy:
\( \frac{2}{b+c} \leq \frac{1}{\sqrt{bc}} \wedge \frac{2}{a+c} \leq \frac{1}{\sqrt{ac}} \)
Aby dostać tezę wystarczy dodać te trzy nierówności stronami.
\( \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \So \frac{2}{\frac{a + b}{ab}} \leq \sqrt{ab} \So \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \So \frac{2}{a+b} \leq \frac{1}{\sqrt{ab}}\)
W analogiczny sposób dostajemy:
\( \frac{2}{b+c} \leq \frac{1}{\sqrt{bc}} \wedge \frac{2}{a+c} \leq \frac{1}{\sqrt{ac}} \)
Aby dostać tezę wystarczy dodać te trzy nierówności stronami.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3550
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1954 razy
Re: Dowodzenie z zastosowaniem średnich.
Albo "na piechotę":
\((\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0\) i równość dla \(a=b\)
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\quad|\colon (a+b)\sqrt{ab}\\
{1\over\sqrt{ab}}\ge{2\over a+b}\)
i analogicznie, jak Icanseepeace pisał, dalej
Pozdrawiam
\((\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0\) i równość dla \(a=b\)
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\quad|\colon (a+b)\sqrt{ab}\\
{1\over\sqrt{ab}}\ge{2\over a+b}\)
i analogicznie, jak Icanseepeace pisał, dalej
Pozdrawiam