Zbieżność ciągu

[peresbmw]

Proszę o pomoc w wyjaśnieniu pokolei krok po kroku jak rozwiązujemy takie zadania żebym mógł zrozumieć jak to działa do rozwiązania kolejnych przykładów.

Korzystając z Twierdzeni o ciągu monotonicznym i ograniczonym zbadać zbieżność poniższych ciągów, tam gdzie to możliwe wyznaczyć granice
\(a_n= \sqrt[n]{5^n-3^n-2^n} \)

[panb]

Korzystając z Twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym zbadać zbieżność poniższych ciągów, tam gdzie to możliwe wyznaczyć granice
\(a_n= \sqrt[n]{5^n-3^n-2^n} \)

Twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym pozwala zbadać CZY ciąg jest zbieżny. Potem można liczyć granicę.
\(5^n=(3+2)^2\ge 3^n+2^2 \So 0\le a_n \le \sqrt[n]{5^n}=5\) - zatem ciąg jest ograniczony.
\(a_{n+1}-a_n=5^{n+1}-3^{n+1}-2^{n+1}-5^n+3^n+2^n=4\cdot5^n-2\cdot3^n-2^n\ge 4\cdot3^n-2\cdot3^n-3^n=3^n>0\) więc ciąg jest rosnący.

Ciąg\((a_n)\) jest ograniczony i monotoniczny (rosnący), więc ma granicę.

[panb]

Teraz wiemy, że istnieje granica. Najlepiej chyba z twierdzenia o trzech ciągach.
\(\displaystyle{ 5\cdot\sqrt[n]{1- \left(\frac{3}{5} \right)^n - \left( \frac{2}{5} \right)^n }= \sqrt[n]{5^n \left(1- \left(\frac{3}{5} \right)^n - \left( \frac{2}{5} \right)^n \right) }= \sqrt[n]{5^n-3^n-2^n}\le \sqrt[n]{5^n}=5 \text{ czyli }\\
5\cdot\sqrt[n]{1- \left(\frac{3}{5} \right)^n - \left( \frac{2}{5} \right)^n }\le a_n \le 5 \\
\text{Ponieważ } \Lim_{n\to \infty } 5\cdot\sqrt[n]{1- \left(\frac{3}{5} \right)^n - \left( \frac{2}{5} \right)^n }=\Lim_{n\to \infty } 5 }\),
więc na mocy tw. o trzech takich, mamy
\[\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{5^n-3^n-2^n} =5 \]

[peresbmw]

Ok dzięki chyba rozumiem, możesz zerknąć na ten przykład? \(A_n= \frac{(n+1)^3}{n!}\) Policzyłem że ciąg jest malejący dla \(n \ge 3 \)ale nie wiem jak ograniczyć

[panb]

Jeżeli jest malejący (a JEST od n=2), to nie ma problemu.
\(0\le \left| A_n \right|\le 13,5\): 13,5 to wartość \(A_2\)

[peresbmw]

Dzięki a da się policzyć z tego granice?

[Jerry]

Dzięki a da się policzyć z tego granice?

Najszybciej z kryterium zbieżności d'Alamberta:
\(\Limn \left|{A_{n+1}\over A_n}\right|=\Limn \left|\frac{(n+2)^3}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)^3}\right|=\Limn \left|\frac{(n+2)^3}{(n+1)^4}\right|=0<1\So \Limn A_n=0\)

Pozdrawiam