Witam, jeżeli jest taka możliwość bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania z próbnej matury rozszerzonej WSIP (Październik 2020).
Trzecie potęgi różnych od zera liczb x, y, z są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wykaż, że
\( \frac{1}{x^2+xy+y^2} + \frac{1}{y^2+yz+z^2} > \frac{1}{x^2+xz+z^2}\)
Dowód z ciągiem arytmetycznym
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Dowód z ciągiem arytmetycznym
\(\displaystyle{ y^3-x^3=z^3-y^3=r \wedge z^3-x^3=2r\\m3ssi94 pisze: ↑06 cze 2021, 13:44 Witam, jeżeli jest taka możliwość bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania z próbnej matury rozszerzonej WSIP (Październik 2020).
Trzecie potęgi różnych od zera liczb x, y, z są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wykaż, że
\( \frac{1}{x^2+xy+y^2} + \frac{1}{y^2+yz+z^2} > \frac{1}{x^2+xz+z^2}\)
\frac{1}{x^2+xy+y^2} + \frac{1}{y^2+yz+z^2} = \frac{y-x}{y^3-x^3} + \frac{z-y}{z^3-y^3}= \frac{y-x}{r} + \frac{z-y}{r}= \frac{z-x}{r}
}\)
Liczba \(\displaystyle \frac{z-x}{r}>0 \text{ więc } \frac{1}{x^2+xy+y^2} + \frac{1}{y^2+yz+z^2}=\frac{z-x}{r}> \frac{z-x}{2r}= \frac{z-x}{z^3-x^3}= \frac{1}{x^2+xz+z^2} \)
THE END
-
Icanseepeace
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Dowód z ciągiem arytmetycznym
Dowód wprost:
Skoro trzecie potęgi liczb \(x,y,z\) tworzą ciąg arytmetyczny to mamy równość:
\((*) \ 2y^3 = x^3 + z^3 \)
Jeżeli dowolne dwie z liczb \( x,y,z \) są sobie równe to z \((*)\) dostajemy od razu \( x = y = z \).
Wtedy:
\( L = \frac{1}{3x^2} + \frac{1}{3x^2} = 2 \cdot \frac{1}{3x^2} > \frac{1}{3x^2} = P \)
więc teza zachodzi. Załóżmy teraz, że liczby \(x,y,z\) są parami różne. Wtedy:
\(L = \frac{1}{x^2 + xy + y^2} + \frac{1}{y^2 + yz + z^2} = \frac{x - y}{x^3 - y^3} + \frac{y - z}{y^3 - z^3}
\stackrel{*}{=} \frac{x - y}{2y^3 - z^3 - y^3} + \frac{y - z}{y^3 - z^3} = \\ = \frac{x - y + y - z}{y^3 - z^3}
\stackrel{*}{=} \frac{x - z}{\frac{x^3 + z^3}{2} - z^3} = 2 \cdot \frac{x - z}{x^3 - z^3} \stackrel{**}{>} \frac{x - z}{x^3 - z^3} = \frac{1}{x^2 + xz +z^2} = P \)
Nierówność oznaczona pod koniec \((**)\) wymaga uzasadnienia. Nie jest ono skomplikowane, więc zostawiam je dla zainteresowanego.
Skoro trzecie potęgi liczb \(x,y,z\) tworzą ciąg arytmetyczny to mamy równość:
\((*) \ 2y^3 = x^3 + z^3 \)
Jeżeli dowolne dwie z liczb \( x,y,z \) są sobie równe to z \((*)\) dostajemy od razu \( x = y = z \).
Wtedy:
\( L = \frac{1}{3x^2} + \frac{1}{3x^2} = 2 \cdot \frac{1}{3x^2} > \frac{1}{3x^2} = P \)
więc teza zachodzi. Załóżmy teraz, że liczby \(x,y,z\) są parami różne. Wtedy:
\(L = \frac{1}{x^2 + xy + y^2} + \frac{1}{y^2 + yz + z^2} = \frac{x - y}{x^3 - y^3} + \frac{y - z}{y^3 - z^3}
\stackrel{*}{=} \frac{x - y}{2y^3 - z^3 - y^3} + \frac{y - z}{y^3 - z^3} = \\ = \frac{x - y + y - z}{y^3 - z^3}
\stackrel{*}{=} \frac{x - z}{\frac{x^3 + z^3}{2} - z^3} = 2 \cdot \frac{x - z}{x^3 - z^3} \stackrel{**}{>} \frac{x - z}{x^3 - z^3} = \frac{1}{x^2 + xz +z^2} = P \)
Nierówność oznaczona pod koniec \((**)\) wymaga uzasadnienia. Nie jest ono skomplikowane, więc zostawiam je dla zainteresowanego.