Całka z funkcji wymiernej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- damian28102000
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
- Podziękowania: 144 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Całka z funkcji wymiernej
Cześć!
Borykam się całką z funkcji wymiernej:
\( \int{\frac{dx}{x^3-8}}\)
Próbowałem chyba już wszystkich poznanych technik na zajęciach, ale nie udaje mi się jej ruszyć.
Borykam się całką z funkcji wymiernej:
\( \int{\frac{dx}{x^3-8}}\)
Próbowałem chyba już wszystkich poznanych technik na zajęciach, ale nie udaje mi się jej ruszyć.
-
- Expert
- Posty: 6272
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
Re: Całka z funkcji wymiernej
A czy poznałeś już technikę rozkładu wielomianu na czynniki i ułamki proste
\( x^3-8 =(x-2)(x^2+2x+4)\)
\( x^3-8 =(x-2)(x^2+2x+4)\)
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Całka z funkcji wymiernej
Rozkład na ułamki proste:
\( \frac{1}{x^3 - 8} = \frac{1}{12(x-2)} - \frac{x + 4}{12(x^2 + 2x + 4)} \)
\( \frac{1}{x^3 - 8} = \frac{1}{12(x-2)} - \frac{x + 4}{12(x^2 + 2x + 4)} \)
- damian28102000
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
- Podziękowania: 144 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Całka z funkcji wymiernej
korki_fizyka pisze: ↑20 maja 2021, 09:05 A czy poznałeś już technikę rozkładu wielomianu na czynniki i ułamki proste
\( x^3-8 =(x-2)(x^2+2x+4)\)
Wiocha się przyznać, ale nawet nie uważałem tego za wielomian, nigdzie nie znalazłem jak rozkładać x do potęgi 3, za pomocą tych A B C etc., mógłby ktoś z was pokazać? Bo na logikę rozumiem, ale nie wiem jak by to wyglądało w sposób algorytmiczny.Icanseepeace pisze: ↑20 maja 2021, 09:34 Rozkład na ułamki proste:
\( \frac{1}{x^3 - 8} = \frac{1}{12(x-2)} - \frac{x + 4}{12(x^2 + 2x + 4)} \)
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Całka z funkcji wymiernej
\( \frac{1}{x^3 - 8} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4} \)
Prawą stronę sprowadzasz do wspólnego mianownika i porównujesz wielomiany w liczniku.
Po wyznaczeniu \( A,B,C \) powinieneś dostać rozkład podany wyżej.
Inne przykłady (gdy np w mianowniku po sprowadzeniu do postaci iloczynowej masz pierwiastki wielokrotne) możesz znaleźć np tutaj:
https://pl.wikipedia.org/wiki/U%C5%82amki_proste
Prawą stronę sprowadzasz do wspólnego mianownika i porównujesz wielomiany w liczniku.
Po wyznaczeniu \( A,B,C \) powinieneś dostać rozkład podany wyżej.
Inne przykłady (gdy np w mianowniku po sprowadzeniu do postaci iloczynowej masz pierwiastki wielokrotne) możesz znaleźć np tutaj:
https://pl.wikipedia.org/wiki/U%C5%82amki_proste
- damian28102000
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
- Podziękowania: 144 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Całka z funkcji wymiernej
Czyli jak trafiam na przypadek z x^3+COŚ w środku to muszę znaleźć rozwiązanie, dla którego się zeruje i "walnąć" Hornerem, by później podążyć standardowym algorytmem rozkładu wielomianu na pierwiastki proste?Icanseepeace pisze: ↑20 maja 2021, 10:56 \( \frac{1}{x^3 - 8} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4} \)
Prawą stronę sprowadzasz do wspólnego mianownika i porównujesz wielomiany w liczniku.
Po wyznaczeniu \( A,B,C \) powinieneś dostać rozkład podany wyżej.
Inne przykłady (gdy np w mianowniku po sprowadzeniu do postaci iloczynowej masz pierwiastki wielokrotne) możesz znaleźć np tutaj:
https://pl.wikipedia.org/wiki/U%C5%82amki_proste
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Całka z funkcji wymiernej
Jeżeli masz przypadek: \(x^3 + A\) gdzie \( A \) jest jakąś liczbą rzeczywistą to korzystaj z wzoru \( x^3 + a^3 \).
Ogólnie w całkach z funkcji wymiernej pierwszym krokiem jest sprowadzenie mianownika do postaci iloczynowej.
Sposób w jaki to zrobisz nie ma większego znaczenia (tw o pierwiastkach wymiernych + schemat Hornera jest jednym ze sposobów).
Ogólnie w całkach z funkcji wymiernej pierwszym krokiem jest sprowadzenie mianownika do postaci iloczynowej.
Sposób w jaki to zrobisz nie ma większego znaczenia (tw o pierwiastkach wymiernych + schemat Hornera jest jednym ze sposobów).
- damian28102000
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
- Podziękowania: 144 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Całka z funkcji wymiernej
Dobra, nadal nie wiem, w poprzednich przykładach po prostu mnożyłem przez mianownik z lewej strony i pozbywałem się ułamków, ale teraz to się nie udaje...Icanseepeace pisze: ↑20 maja 2021, 10:56 \( \frac{1}{x^3 - 8} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4} \)
Prawą stronę sprowadzasz do wspólnego mianownika i porównujesz wielomiany w liczniku.
Po wyznaczeniu \( A,B,C \) powinieneś dostać rozkład podany wyżej.
Inne przykłady (gdy np w mianowniku po sprowadzeniu do postaci iloczynowej masz pierwiastki wielokrotne) możesz znaleźć np tutaj:
https://pl.wikipedia.org/wiki/U%C5%82amki_proste
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Całka z funkcji wymiernej
\( \frac{1}{x^3 - 8} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4} \)
\frac{(A+B)x^2 + (2A + C -2B)x + 4A - 2C}{x^3 - 8} \)
\( x^2 : A + B = 0 \\ x^1 : 2A + C - 2B = 0 \\ x^0 : 4A - 2C = 1 \)
Wystarczy rozwiązać powyższy układ równań.
\(\begin{cases}A = \frac{1}{12} \\ B = -\frac{1}{12} \\ C = - \frac{1}{3} \end{cases}\)
\(P = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4} = \frac{A(x^2 + 2x + 4) + (x-2)(Bx + C)}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} =
\frac{(A+B)x^2 + (2A + C -2B)x + 4A - 2C}{x^3 - 8} \)
\( 0x^2 + 0x + 1 = (A+B)x^2 + (2A + C -2B)x + 4A - 2C \\ \)
\( x^2 : A + B = 0 \\ x^1 : 2A + C - 2B = 0 \\ x^0 : 4A - 2C = 1 \)
Wystarczy rozwiązać powyższy układ równań.
\(\begin{cases}A = \frac{1}{12} \\ B = -\frac{1}{12} \\ C = - \frac{1}{3} \end{cases}\)
-
- Expert
- Posty: 6272
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
Re: Całka z funkcji wymiernej
damian28102000 pisze: ↑20 maja 2021, 10:50 Wiocha się przyznać, ale nawet nie uważałem tego za wielomian, nigdzie nie znalazłem jak rozkładać x do potęgi 3, za pomocą tych A B C etc., mógłby ktoś z was pokazać? Bo na logikę rozumiem, ale nie wiem jak by to wyglądało w sposób algorytmiczny.
Od tego są podręczniki albo Google:
https://matematykaszkolna.pl/strona/55.html
https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/ti ... go+rodzaju
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl