Współrzędne sferyczne i cylindryczne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Współrzędne sferyczne i cylindryczne
Hej!
Mam poniższe zadanie do rozwiązania ale kompletnie nie wiem jak sie za nie zabrać.
Rozważmy sferę \(S\) z równaniem \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) i okrąg \(C\), który składa się z przecięcia z płaszczyzną \(x + y + z = 0\).
(a) Wyraź równianie koła \(C\) za pomocą współrzędnych sferycznych.
(b) Wyraź równanie koła \(C\) za pomocą współrzędnych cylindrycznych.
Jedyne co wiem to to że \(R = 1\)
Mam poniższe zadanie do rozwiązania ale kompletnie nie wiem jak sie za nie zabrać.
Rozważmy sferę \(S\) z równaniem \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) i okrąg \(C\), który składa się z przecięcia z płaszczyzną \(x + y + z = 0\).
(a) Wyraź równianie koła \(C\) za pomocą współrzędnych sferycznych.
(b) Wyraź równanie koła \(C\) za pomocą współrzędnych cylindrycznych.
Jedyne co wiem to to że \(R = 1\)
Ostatnio zmieniony 27 mar 2021, 18:46 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości, trochę kodu, to nie jest trudne!
Powód: poprawa wiadomości, trochę kodu, to nie jest trudne!
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Współrzędne sferyczne i cylindryczne
Wstaw współrzędne wacowe/ sferyczne do układ:
\( \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 1 \\ x + y + z = 0\end{cases} \)
Uzyskany układ będzie opisem powyższego okręgu w nowych współrzędnych,
\( \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 1 \\ x + y + z = 0\end{cases} \)
Uzyskany układ będzie opisem powyższego okręgu w nowych współrzędnych,
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Współrzędne sferyczne i cylindryczne
Wygląda na to, że będzie (przekroje sfery płaszczyzną - leżącą nie za daleko od środka - to okręgi) i to o promieniu 1.
\( \begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t\\z=z \end{cases} \) dają równanie części wspólnej w postaci:
\[ \begin{cases}x= \frac{\cos t}{\sqrt{2+\sin2t}} \\y= \frac{\sin t}{\sqrt{2+\sin2t}}\\z=- \frac{\sin t + \cos t}{\sqrt{2+\sin2t}} \end{cases} \]
Z równania nie widać, że to okrąg (ja nie widzę), ale z własności przekrojów wychodzi, że i owszem.
Współrzędne cylindryczne \[ \begin{cases}x= \frac{\cos t}{\sqrt{2+\sin2t}} \\y= \frac{\sin t}{\sqrt{2+\sin2t}}\\z=- \frac{\sin t + \cos t}{\sqrt{2+\sin2t}} \end{cases} \]
Z równania nie widać, że to okrąg (ja nie widzę), ale z własności przekrojów wychodzi, że i owszem.
-
- Fachowiec
- Posty: 1647
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Współrzędne sferyczne i cylindryczne
\( \begin{cases} x^2 +y^2 + z^2 = 1 \\ x+ y + z = 0 \end{cases}\)
\( z = - x - y = -(x+y)\)
\( x^2 + y^2 +[-(x+y)]^2 = 1\)
\( x^2 + y^2 +x^2 + y^2 + 2x y = 1\)
\( 2x^2 + 2y^2 + 2xy = 1. \)
\( z = - x - y = -(x+y)\)
\( x^2 + y^2 +[-(x+y)]^2 = 1\)
\( x^2 + y^2 +x^2 + y^2 + 2x y = 1\)
\( 2x^2 + 2y^2 + 2xy = 1. \)
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Współrzędne sferyczne i cylindryczne
Uzyskany wynik nie jest równoważny z pierwotnym układem.
Nawet po poprawie zapis:
\( 2x^2 + 2y^2 + 2xy = 1 \ \ \wedge \ \ z=-x-y \)
jest trudniejszy niż wyjściowy układ równań (przynajmniej moim zdaniem).
-
- Fachowiec
- Posty: 1647
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Współrzędne sferyczne i cylindryczne
Nie bardzo rozumiem co masz na myśli mówiąc " wzór trudniejszy"?
Przypadek (gdy płaszczyzna nie przechodzi przez środek sfery)
Równanie sfery:
\( (x - x_{0})^2 + (y-y_{0})^2 + (z -z_{0})^2 = R^2\)
Równanie płaszczyzny \( \pi: Ax +By +Cz + D = 0 \)
Współrzędne wektora normalnego płaszczyzny
\( \vec{n} =[A, B, C] \)
Wybieramy na płaszczyźnie \( \pi \) dowolny punkt \( p_{0}= (p_{01}, p_{02}, p_{03}). \)
Odległość \( d \) tego punktu od środka \( s_{0} = ( x_{0}, y_{0}, z_{0}) \) sfery jest równa
\( d = \frac{(s_{0} - p_{0})\cdot \vec{n}}{\parallel \vec{n}\parallel} \)
\( d = \frac{|A\cdot (x_{0} - p_{01}) + B\cdot (y_{0}-p_{02})+ C\cdot (z_{0} - p_{03}) +D|}{\sqrt{A^2 +B^2 + C^2}}.\)
\( |d|< R \)
Długość promienia \( r \) okręgu
\( r = \sqrt{R^2 - d^2} \)
Współrzędne środka okręgu:
\( s = s_{0} + d \cdot \frac{\vec{n}}{\parallel \vec{n}\parallel} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + d \cdot \frac{(A,B,C)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.\)
Przypadek (gdy płaszczyzna nie przechodzi przez środek sfery)
Równanie sfery:
\( (x - x_{0})^2 + (y-y_{0})^2 + (z -z_{0})^2 = R^2\)
Równanie płaszczyzny \( \pi: Ax +By +Cz + D = 0 \)
Współrzędne wektora normalnego płaszczyzny
\( \vec{n} =[A, B, C] \)
Wybieramy na płaszczyźnie \( \pi \) dowolny punkt \( p_{0}= (p_{01}, p_{02}, p_{03}). \)
Odległość \( d \) tego punktu od środka \( s_{0} = ( x_{0}, y_{0}, z_{0}) \) sfery jest równa
\( d = \frac{(s_{0} - p_{0})\cdot \vec{n}}{\parallel \vec{n}\parallel} \)
\( d = \frac{|A\cdot (x_{0} - p_{01}) + B\cdot (y_{0}-p_{02})+ C\cdot (z_{0} - p_{03}) +D|}{\sqrt{A^2 +B^2 + C^2}}.\)
\( |d|< R \)
Długość promienia \( r \) okręgu
\( r = \sqrt{R^2 - d^2} \)
Współrzędne środka okręgu:
\( s = s_{0} + d \cdot \frac{\vec{n}}{\parallel \vec{n}\parallel} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + d \cdot \frac{(A,B,C)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.\)
Ostatnio zmieniony 28 mar 2021, 12:24 przez janusz55, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Współrzędne sferyczne i cylindryczne
Sądzę że forma:
\( \begin{cases} x^2 +y^2 + z^2 = 1 \\ x+ y + z = 0 \end{cases}\)
jest prostsza niż
\( \begin{cases} 2x^2 +2y^2 + 2xy = 1 \\ x+ y + z = 0 \end{cases}\)
ponieważ w pierwszej wiele osób ''widzi'' przecięcie sfery i płaszczyzny, a w drugiej trochę mniej dostrzega przecięcie walca eliptycznego z płaszczyzną.
Reszty wpisu nie komentuję, gdyż nie dotyczy meritum tego tematu.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3548
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1952 razy
Re: Współrzędne sferyczne i cylindryczne
No i dobrze, przecież rzutem prostokątnym danego okręgu na płaszczyznę xOy jest elipsa
Twoje posty niewiele wnoszą do wątku i na pewno nie są kontrargumentami do postów pozostałych userów
Znowu zaczynasz mieszać
- Jerry
- Expert
- Posty: 3548
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1952 razy
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Współrzędne sferyczne i cylindryczne
Pisząc powyższe pokazałeś, że należysz do tych osób które w układzie
\( \begin{cases} 2x^2 +2y^2 + 2xy = 1 \\ x+ y + z = 0 \end{cases}\)
nie widzą przecięcia walca eliptycznego z płaszczyzną i dlatego
\( \begin{cases} x^2 +y^2 + z^2 = 1 \\ x+ y + z = 0 \end{cases}\)
jest formą prostszą.