rozwiąż nierówność trygonometryczną

[Brydzia123]

Witam,

bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu i zrozumieniu:

Rozwiąż nierówność \((2\sin x - 3)(2\sin x+1)>0\)

Dziękuję

[eresh]

Rozwiąż nierówność \((2\sin x - 3)(2\sin x+1)>0\)

\((2\sin x-3)(2\sin x+1)>0\\
\sin x=t,\;\;t\in [-1,1]\\
(2t-3)(2t+1)>0\\
t\in [-\infty,-\frac{1}{2})\cup (\frac{3}{2},\infty)\;\;\wedge\;\;t\in [-1,1]\\
t\in [-1,-\frac{1}{2})\\
\sin x<-\frac{1}{2}\\
t\in (-\frac{5\pi}{6}+2k\pi, -\frac{\pi}{6}+2k\pi), k\in\mathbb{C}\)

[Jerry]

Albo:
Wobec znanego faktu:
\(-1\le\sin x\le1\), dla każdego \(x\in\rr\),
mamy
\(-5\le2\sin x-3\le-1<0\)
i
\((2\sin x - 3)(2\sin x+1)>0\qquad |\colon (2\sin x - 3)\\
2\sin x+1<0\iff\sin x<-{1\over2}\)
Rysujemy wykresy stron i czytamy odpowiedź jak u eresh

Pozdrawiam

[Brydzia123]

\(x\in (-\frac{5\pi}{6}+2k\pi, -\frac{\pi}{6}+2k\pi), k\in\mathbb{C}\)

Przepraszam nie dopisałam, w przedziale \((0,2 \pi )\)

Jak można to zapisać?
Dziękuję

[Brydzia123]

czy to będzie: \((0, \frac{7}{6} )\)?
dziękuję

[Jerry]

czy to będzie: \((0, \frac{7}{6} )\)?

Nie, powinno być \(x\in\left({7\pi\over6};{11\pi\over6}\right)\)

Pozdrawiam

[eresh]

\(x\in (-\frac{5\pi}{6}+2k\pi, -\frac{\pi}{6}+2k\pi), k\in\mathbb{C}\)

Przepraszam nie dopisałam, w przedziale \((0,2 \pi )\)

Jak można to zapisać?
Dziękuję

\(x\in (-\frac{5\pi}{6}+2\pi, -\frac{\pi}{6}+2\pi)\)
czyli
\(x\in (\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6})\)

[Brydzia123]

\((2\sin x - 3)(2\sin x+1)>0\qquad |\colon (2\sin x - 3)\\
2\sin x+1<0\iff\sin x<-{1\over2}\)

Dlaczego przy dzieleniu zmienił się kierunek znaku nierówności?

[eresh]

Dlaczego przy dzieleniu zmienił się kierunek znaku nierówności?

bo \(2\sin x-3\) jest wyrażeniem ujemnym

[Brydzia123]

czy to dlatego, że \(-5 \le 2\sin x+1 \le -1\) \(<0\)?

DZIĘKUJĘ!!!!

[eresh]

czy to dlatego, że \(-5 \le 2\sin x+1 \le -1\) \(<0\)?

Tak. Dlatego, że dzielimy przez wyrażenie które jest ujemne.

[Jerry]

czy to dlatego, że \(-5 \le 2\sin x+1 \le -1\) \(<0\)?

Tak właśnie!

Pozdrawiam
PS. Filtruj, proszę, wykorzystywane cytaty

[Brydzia123]

\((2\sin x - 3)(2\sin x+1)>0\qquad |\colon (2\sin x - 3)\\
\)

A czy nie dzielimy obie strony nierówności przez \((2\sin x+1)\), bo \(2\sin x - 3\) \( \So x= \frac{3}{2} \)?

Dziękuję:)

[eresh]

\((2\sin x - 3)(2\sin x+1)>0\qquad |\colon (2\sin x - 3)\\
\)

A czy nie dzielimy obie strony nierówności przez \((2\sin x+1)\), bo \(2\sin x - 3\) \( \So x= \frac{3}{2} \)?

Dziękuję:)

Nie. Nie możesz podzielić nierówności przez wyrażenie którego znaku nie jesteś pewna


\(2\sin x-3=0\\
\sin x=\frac{3}{2}\)
równanie jest sprzeczne

[Jerry]

A czy nie dzielimy obie strony nierówności przez \((2\sin x+1)\), bo \(2\sin x - 3\) \( \So x= \frac{3}{2} \)?

\(2\sin x - 3\) \( \So \color{red}{\sin}x= \frac{3}{2} \) - sprzeczność!

Ale pamiętaj, że przy dzieleniu stronami nierówności, ważny jest znak dzielnika

Pozdrawiam