Potęgowanie liczb zespolonych

[LukOThePolak]

Witam,
Chciałbym prosić o radę dotyczącą poniższego zadania.
Mam za zadanie przedstawić następującą liczbę w postaci trygonometrycznej:
\(z=\frac{z_1^{14}z_2^{15}}{z_3^{24}}\)
gdzie:
\(z_1=2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\)
\(z_2=3(\cos\frac{\pi}{5}+i\sin\frac{\pi}{5})\)
\(z_3=2(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7})\)
Podniosłem powyższe liczby za pomocą wzoru de Moivre'a do podanych potęg. Liczby \(z_3\) nie mogłem sprowadzić do postaci kartezjańskiej, ponieważ kąt który wyszedł mi z obliczeń nie jest żadnym z kątów charakterystycznych. Doszedłem do następującej postaci: \(z=\frac{(-2^{13}+2^{13} \sqrt{3}i)(-3^{15})}{2^{24}(\cos\frac{10\pi}{7}+i\sin\frac{10\pi}{7})}\). Jaki krok powinienem teraz wykonać? Przemnożyć ułamek przez sprzężenie? Czy w ogóle nie powinienem był wcześniej sprowadzać liczb \(z_1\) i \(z_2\) do postaci kartezjańskiej? Z góry dziękuję za odpowiedź.

[janusz55]

Jeśli liczba zespolona \( z \) byłaby w postaci \( z=\frac{z_3^{14}z_2^{15}}{z_1^{24}}, \) to wtedy po zastosowaniu wzoru de Moivre'a moglibyśmy otrzymać wynik dokładny. W tym przypadku otrzymamy wynik przybliżony.

[LukOThePolak]

Niestety jest w takiej postaci jaką napisałem w poleceniu. Teraz tylko pytanie, czy należy przemnożyć przez sprzężenie mianownika całą liczbę?

[Młodociany całkowicz]

Jest takie twierdzenie:
Niech
\(z_1 = a(\cos\phi + i\sin\phi)\)
\(z_2 = b(\cos\psi + i\sin\psi)\)
Wówczas
\(z_1z_2 = ab(\cos(\phi +\psi) + i\sin(\phi + \psi))\)
Zastosuj to twierdzenie, a twój problem zniknie.

[janusz55]

Problem nie zniknie bo po zastosowaniu wzoru de Moivre'a argument liczby zespolonej \(z\) jest równy \( \frac{14}{3}\pi + 3\pi -\frac{24}{7}\pi = \frac{89}{21}\pi = 4\frac{5}{21}\pi. \)

Rozwiązanie przybliżone.

[Młodociany całkowicz]

Panie Januszu! Ależ wszystko będzie w porządku. Wszak zadanie polegało na przedstawieniu w postaci trygonometrycznej.

[janusz55]

Racja. Nie chodziło o przedstawienie liczby \( z \) w postaci algebraicznej.

[LukOThePolak]

Dziękuję za pomoc. Jeszcze ostatnie pytanie. Czy w jeśli otrzymam daną liczbę w postaci trygonometrycznej, to czy muszę pomnożyć cały ułamek przez sprzężenie? Czy sprzężenie dotyczy tylko postaci kartezjańskiej liczby zespolonej?

[Młodociany całkowicz]

W jakim sensie dotyczy?

[LukOThePolak]

Źle sformułowałem pytanie. Po zastosowaniu twierdzenia które podałeś licznik będę mieć w postaci trygonometrycznej, natomiast pozostanie jeszcze mianownik, który również będzie w tej postaci. Większość wykładowców nalega, aby przemnożyć mianownik przez sprzężenie i pozbyć się jednostki urojonej z mianownika. Czy w tym przykładzie też powinienem to uczynić?

[Młodociany całkowicz]

Nie. Takie rozwiązania stosuje się do postaci algebraicznej.