Rozwiąż jednorodne równanie różniczkowe

[Januszgolenia]

\(xdy-ydx=ydy\)
y(-1)=1

[Młodociany całkowicz]

\(y' \frac{x}{y} - 1 = y'\)
\(y = xz\)
\((z + xz')\frac{1}{z} - 1 = z + xz'\)
\(z' \frac{x}{z} = z + xz'\)
\(xz'(\frac{1}{z} - 1) = z\)
\(z'(\frac{1}{z^2} - \frac{1}{z}) = \frac{1}{x}\)
\(\frac{1}{z} - \ln|z| = \ln|x|+C\)
\(\frac{x}{y} - \ln|\frac{y}{x}|+C = \ln|x|\)
\(\frac{x}{y} = \ln|y|+C\)
\(x = y\ln|y|+Cy\)
\(C = -1\)

[janusz55]

\( |\cdot \frac{1}{x} \ \ x\neq 0,\)

\( \frac{y}{x} = u,\)

\( y' = u + x\cdot u'. \)

[janusz55]

Rozwiązując równania różniczkowe każdego typu ( o zmiennych rozdzielonych jednorodne, liniowe jednorodne, liniowe niejednorodne) musimy uwzględniać założenia dotyczące przekształceń i otrzymywanych wyników.

[Januszgolenia]

\(xy^{'}-ydx=yy^{'}\) dzielimy obie strony przez y
\(y^{'} \frac{x}{y}-dx=y^{'}\)
Dlaczego potem jest \(y^{'} \frac{x}{y} -1=y^{'}\)

[janusz55]

\(\begin{cases} x dy - ydx = ydy \\ y(-1) =1 \end{cases} \)

\( x dy - ydx = ydy |\cdot \frac{1}{x}, \ \ x \neq 0 \)

\( dy -\frac{y}{x}dx = \frac{y}{x}dy \)

\( dy - \frac{y}{x}dy = \frac{y}{x}dx \)

\( y' \left(1 - \frac{y}{x}\right) = \frac{y}{x} \)

\( \frac{y}{x} = u \)

\( y = x\cdot u \ \ (1)\)

\( y' = u + xu' \)

\( (u + xu')( 1 -u) = u \)

\( u +xu' = \frac{u}{1-u} \)

\( xu' = \frac{u}{1-u} -u = \frac{u -u + u^2}{u} = u \)

\( \int \frac{du}{u} = \int \frac{1}{x} dx \)

\( \ln|u| = \ln|x| + A \)

\( u = C x , \ \ C = e^{A} \)

Na podstawie \( (1) \)

\( y = Cx^2 \)

Rozwiązaniem ogólnym równania jest rodzina parabol o wspólnym wierzchołku \( (0,0). \)

Rozwiązanie szczególne:

\( 1 = C (-1)^2, \ \ C= 1\)

\( y _{s} = x^2. \)

[Januszgolenia]

Nie bardzo rozumiem skąd \(xu^{'}= \frac{u}{1-u}-u= \frac{u-u(1-u)}{1-u}= \frac{u^2}{u}=u\) Przecież to jesu \( \frac{u^2}{1-u}\)

[Młodociany całkowicz]

\(xy^{'}-ydx=yy^{'}\) dzielimy obie strony przez y
\(y^{'} \frac{x}{y}-dx=y^{'}\)
Dlaczego potem jest \(y^{'} \frac{x}{y} -1=y^{'}\)

Po obustronnym podzieleniu przez \(dx\) jest \( xy' - y = yy'\) i dzielimy obustronnie przez \(y\)

[Młodociany całkowicz]

Nie bardzo rozumiem skąd \(xu^{'}= \frac{u}{1-u}-u= \frac{u-u(1-u)}{1-u}= \frac{u^2}{u}=u\) Przecież to jesu \( \frac{u^2}{1-u}\)

Sądzę, że twoja uwaga była słuszna.

[janusz55]

Korekta

\( xu' = \frac{u^2}{1-u} \)

\( \int \frac{1-u}{u^2}du = \int \frac{1}{x}dx \)

\( \int \left( \frac{1}{u^2} - \frac{1}{u} \right)du = \int\frac{1}{x}dx \)

\( -\frac{1}{u} - \ln u = \ln(x) + A \)

\( \ln \left(e^{-\frac{1}{u}} \right ) - \ln(u) = \ln(x) + A \)

\(\ln \left(\frac{e^{-\frac{1}{u}}}{u}\right) = \ln(x) + A \)

\( \frac{e^{-\frac{1}{u}}}{u} = C\cdot x , \ \ C = e^{A} \)

\( e^{-\frac{1}{u}} = u\cdot C\cdot x = C\cdot y \)

\( -\frac{x}{y} = \ln( C \cdot y), \ \ C \cdot y >0 \)

\( - x = y\cdot \ln(C \cdot y) \) - rozwiązanie ogólne równania

Warunek początkowy:

\( 1 = 1\ln[ C\cdot (1)], \)

\( \ln (C) = 1, \ \ C = e.\)

\( x = y\cdot \ln (e \cdot y). \) - rozwiązanie szczególne.

[Januszgolenia]

Chyba x=-yln(ey).

[janusz55]

Tak, bo do rozwiązania ogólnego podstawiamy \( C = e. \)