1) Znajdź rówannie prostej, zawierającą dwusieczną tego kąta, utworzonego przez proste k: x+3y-1=0 oraz l:6x-2y+1=0, do obszaru którego należy punkt P(3,1). odp: 4x-8y+3=0
2) Znajdź równania prostych w których zawierają się dwusieczne kątów, utworzonych przez proste k: 4x+2y+1=0 i m: 11x-2y+7=0.
odp: 2x-14y+9=0 lub 42x+6y+19=0
3)Dane są punkty A(1,0) B(-1,1). Punkt C należy do okręgu o równaniu \(x^{2}+y^{2}=1\). Znajdź współrzędne punktu C, tak aby pole trójkąta było największe. Oblicz to pole.
odp: P=1/2(pierw z 5 +1)
Geometria analityczna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Pol
- Moderator
- Posty: 1026
- Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
- Lokalizacja: Częstochowa
- Otrzymane podziękowania: 137 razy
- Płeć:
zadanie 1
dwusieczna kąta czyli linia w każdym punkcie jednakowo oddalona od ramion kąta
wzór na odległ. punktu od linii:
\(d = \frac {|Ax+By+C|} {\sqrt {A^2 + B^2}}\)
w naszym przypadku musi zachodzić następująca równość:
\(\frac {|1x+3y-1|} {\sqrt {1^2 + 3^2}} = \frac {|6x-2y+1|} {\sqrt {6^2 + (-2)^2}}\)
trzeba się jeszcze pozbyć wartości bezwzględnej z tej równości, musimy więc zdecydować, która część płaszczyzny wyznaczona przez proste k i l nas interesują
gdy mamy prostą na układzie współrzędnych to części płaszczyzny wyznaczone przez nią są zdefiniowane jako:
y > ax + b oraz y < ax + b
lub
Ax + BY + C > 0 oraz Ax + By + C < 0
żeby sprawdzić która część interesuje nas w zadaniu, wystarczy podstawić współrzędne punktu P do wzorów obu prostych
3+3*1-1=5 > 0
6*3-2*1+1=17 > 0
teraz można usunąć wartość bezwzględne bez zmiany znaku (wartości są dodatnie)
\(\frac {1x+3y-1} {\sqrt {1^2 + 3^2}} = \frac {6x-2y+1} {\sqrt {6^2 + (-2)^2}} //\cdot \sqrt {10} \\
1x+3y-1 = \frac {6x-2y+1} {\sqrt {4}} // \cdot 2 \\
2x+6y-2=6x-2y+1\\
4x-8y+3=0\)
jeżeli przy obliczeniach wyjdą przeciwne współczynniki wystarczy obustronnie pomnożyć przez (-1)
zadanie 2
podobnie jak w zadaniu 1
\(\frac {|4x+2y+1|} {\sqrt {4^2 + 2^2}} = \frac {|11x-2y+7|} {\sqrt {11^2 + (-2)^2}}\)
brak punktu wskazującego płaszczyzny dlatego liczymy każdy przypadek, tak na prawdę wystarczą dwa:
1. obie wartosci pod wart. bezwzl. sa dodatnie
2. jedna z wartosci pod wart. bezwzgl jest dodatnia druga ujemna
np w przypadku obu ujemnych wynik otrzymamy z przeciwnymi wspolczynnikami, ktore mozna latwo zmienic mnozac przez (-1)
rozwiązujemy więc równość:
\(\frac {4x+2y+1} {\sqrt {4^2 + 2^2}} = \frac {11x-2y+7} {\sqrt {11^2 + (-2)^2}}\)
oraz
\(\frac {-4x-2y-1} {\sqrt {4^2 + 2^2}} = \frac {11x-2y+7} {\sqrt {11^2 + (-2)^2}}\)
wynikiem będą dwa wzory prostych
\(2x-14y+9=0 \ \ oraz \ \ 42x+6y+19=0\)
dwusieczna kąta czyli linia w każdym punkcie jednakowo oddalona od ramion kąta
wzór na odległ. punktu od linii:
\(d = \frac {|Ax+By+C|} {\sqrt {A^2 + B^2}}\)
w naszym przypadku musi zachodzić następująca równość:
\(\frac {|1x+3y-1|} {\sqrt {1^2 + 3^2}} = \frac {|6x-2y+1|} {\sqrt {6^2 + (-2)^2}}\)
trzeba się jeszcze pozbyć wartości bezwzględnej z tej równości, musimy więc zdecydować, która część płaszczyzny wyznaczona przez proste k i l nas interesują
gdy mamy prostą na układzie współrzędnych to części płaszczyzny wyznaczone przez nią są zdefiniowane jako:
y > ax + b oraz y < ax + b
lub
Ax + BY + C > 0 oraz Ax + By + C < 0
żeby sprawdzić która część interesuje nas w zadaniu, wystarczy podstawić współrzędne punktu P do wzorów obu prostych
3+3*1-1=5 > 0
6*3-2*1+1=17 > 0
teraz można usunąć wartość bezwzględne bez zmiany znaku (wartości są dodatnie)
\(\frac {1x+3y-1} {\sqrt {1^2 + 3^2}} = \frac {6x-2y+1} {\sqrt {6^2 + (-2)^2}} //\cdot \sqrt {10} \\
1x+3y-1 = \frac {6x-2y+1} {\sqrt {4}} // \cdot 2 \\
2x+6y-2=6x-2y+1\\
4x-8y+3=0\)
jeżeli przy obliczeniach wyjdą przeciwne współczynniki wystarczy obustronnie pomnożyć przez (-1)
zadanie 2
podobnie jak w zadaniu 1
\(\frac {|4x+2y+1|} {\sqrt {4^2 + 2^2}} = \frac {|11x-2y+7|} {\sqrt {11^2 + (-2)^2}}\)
brak punktu wskazującego płaszczyzny dlatego liczymy każdy przypadek, tak na prawdę wystarczą dwa:
1. obie wartosci pod wart. bezwzl. sa dodatnie
2. jedna z wartosci pod wart. bezwzgl jest dodatnia druga ujemna
np w przypadku obu ujemnych wynik otrzymamy z przeciwnymi wspolczynnikami, ktore mozna latwo zmienic mnozac przez (-1)
rozwiązujemy więc równość:
\(\frac {4x+2y+1} {\sqrt {4^2 + 2^2}} = \frac {11x-2y+7} {\sqrt {11^2 + (-2)^2}}\)
oraz
\(\frac {-4x-2y-1} {\sqrt {4^2 + 2^2}} = \frac {11x-2y+7} {\sqrt {11^2 + (-2)^2}}\)
wynikiem będą dwa wzory prostych
\(2x-14y+9=0 \ \ oraz \ \ 42x+6y+19=0\)
-
Pol
- Moderator
- Posty: 1026
- Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
- Lokalizacja: Częstochowa
- Otrzymane podziękowania: 137 razy
- Płeć:
zadanie 3
rysunek pomocniczy
trójkąta oczywiście nie zaznaczyłem bo po co
moje nieuwaga, oczywiście chodzi o trójkąt ABE lub ABF
zaczynamy od obliczenia |AB| korzystając ze wzoru na odległość 2 punktów
oraz prostej "l" zawierającej punkt A i B korzystając ze wzoru na prostą przechodzącą przez 2 punkty
\(|AB| = \sqrt 5 \\
l: y = -\frac 1 2 + \frac 1 2\)
następnie liczymy h = |DE| lub h = |DF|
najdalej oddalonymi punktami koła od prostej są punkty należące do stycznych równoległych do tej prostej (punkty E i F)
liczymy współrzędne tych punktów, najpierw potrzebny nam wzór prostej zawierającej E i F, mamy do czynienia ze stycznymi więc dodatkowo nasza prosta przechodzi przez środek okręgu czyli punkt (0, 0)
prosta prostopadła do prostej "l" i przechodząca przez (0, 0) ma wzór:
\(y = 2x\)
podstawiamy ten wzór do wzoru na okrąg i otrzymujemy dwie pary punktów (2 miejsca przecięcia prostej z okręgiem)
wsp punktu F
\(x_1 = \frac {\sqrt 5} 5 \\
y_1 = \frac {2\sqrt 5} 5\)
wsp punktu E
\(x_2 = -\frac {\sqrt 5} 5 \\
y_2 = -\frac {2\sqrt 5} 5\)
teraz liczymy odległość tych punktów od prostej "l"
korzystając ze wzoru
\(d = \frac {|Ax+By+C|} {\sqrt {A^2 + B^2}}\)
otrzymujemy:
\(|DE| = \frac {\sqrt 5 + 1} {\sqrt 5} \\
|DF| = \frac {\sqrt 5 - 1} {\sqrt 5}\)
dłuższa wysokość trójkąt to oczywiście (z obliczeń) |DE|
podstawiamy do wzoru na pole trójkąta
\(P = \frac 1 2 |AB||DE| = \frac 1 2 \cdot \sqrt 5 \cdot \frac {\sqrt 5 + 1} {\sqrt 5} = \frac 1 2 ({\sqrt 5 + 1})\)
rysunek pomocniczy
trójkąta oczywiście nie zaznaczyłem bo po co
moje nieuwaga, oczywiście chodzi o trójkąt ABE lub ABFzaczynamy od obliczenia |AB| korzystając ze wzoru na odległość 2 punktów
oraz prostej "l" zawierającej punkt A i B korzystając ze wzoru na prostą przechodzącą przez 2 punkty
\(|AB| = \sqrt 5 \\
l: y = -\frac 1 2 + \frac 1 2\)
następnie liczymy h = |DE| lub h = |DF|
najdalej oddalonymi punktami koła od prostej są punkty należące do stycznych równoległych do tej prostej (punkty E i F)
liczymy współrzędne tych punktów, najpierw potrzebny nam wzór prostej zawierającej E i F, mamy do czynienia ze stycznymi więc dodatkowo nasza prosta przechodzi przez środek okręgu czyli punkt (0, 0)
prosta prostopadła do prostej "l" i przechodząca przez (0, 0) ma wzór:
\(y = 2x\)
podstawiamy ten wzór do wzoru na okrąg i otrzymujemy dwie pary punktów (2 miejsca przecięcia prostej z okręgiem)
wsp punktu F
\(x_1 = \frac {\sqrt 5} 5 \\
y_1 = \frac {2\sqrt 5} 5\)
wsp punktu E
\(x_2 = -\frac {\sqrt 5} 5 \\
y_2 = -\frac {2\sqrt 5} 5\)
teraz liczymy odległość tych punktów od prostej "l"
korzystając ze wzoru
\(d = \frac {|Ax+By+C|} {\sqrt {A^2 + B^2}}\)
otrzymujemy:
\(|DE| = \frac {\sqrt 5 + 1} {\sqrt 5} \\
|DF| = \frac {\sqrt 5 - 1} {\sqrt 5}\)
dłuższa wysokość trójkąt to oczywiście (z obliczeń) |DE|
podstawiamy do wzoru na pole trójkąta
\(P = \frac 1 2 |AB||DE| = \frac 1 2 \cdot \sqrt 5 \cdot \frac {\sqrt 5 + 1} {\sqrt 5} = \frac 1 2 ({\sqrt 5 + 1})\)
-
WalnietyDesko
- Rozkręcam się
- Posty: 39
- Rejestracja: 13 paź 2008, 19:09
Dzięki wielkie za te zadania 
Mam jeszcze pytania co do zadań, nie muszą być to pełne rozwiązania ale wskazówki jak je rozwiązać.
4)
Dane są punkty A(0,0) B(4,2).
a) Znajdź takie punkty C i D aby trójkąty ABC i ABD były równoboczne.
b) Znajdź równanie okręgu wpisanego w romb ABCD.
c) Oblicz pole figury, którą otzrymamy po usunięciu z rombu ABCD wnętrza weń.. (tu mi ucielo kawałek) koła.
5)Znajd rówanie prostej k przechodzącej przez punkt P(2,5) która ogranicza wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt o polu równyum 36.
Tylko tutaj proszę dokładnie tzn po chłopsku tak żeby największy tuman mógł zrozumiec bo to ważne dla mnie zadanko,
6)Figura F jest sumą dwóch prostych o równaniach 3x-4y+14=0 oraz 3x-4y-2=0. Sprawdź czy podana prosta jest osią symetrii tej figury:
a)k:3x-4y+6=0
b)m:4x+3y+5=0
c)n:6x-8y+28=0
d)p:2x+y-1=0
Mam jeszcze pytania co do zadań, nie muszą być to pełne rozwiązania ale wskazówki jak je rozwiązać.
4)
Dane są punkty A(0,0) B(4,2).
a) Znajdź takie punkty C i D aby trójkąty ABC i ABD były równoboczne.
b) Znajdź równanie okręgu wpisanego w romb ABCD.
c) Oblicz pole figury, którą otzrymamy po usunięciu z rombu ABCD wnętrza weń.. (tu mi ucielo kawałek) koła.
5)Znajd rówanie prostej k przechodzącej przez punkt P(2,5) która ogranicza wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt o polu równyum 36.
Tylko tutaj proszę dokładnie tzn po chłopsku tak żeby największy tuman mógł zrozumiec bo to ważne dla mnie zadanko
, 6)Figura F jest sumą dwóch prostych o równaniach 3x-4y+14=0 oraz 3x-4y-2=0. Sprawdź czy podana prosta jest osią symetrii tej figury:
a)k:3x-4y+6=0
b)m:4x+3y+5=0
c)n:6x-8y+28=0
d)p:2x+y-1=0
-
Pol
- Moderator
- Posty: 1026
- Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
- Lokalizacja: Częstochowa
- Otrzymane podziękowania: 137 razy
- Płeć:
zadanie 4
a)
wyznaczasz wzór prostej "l" przechodzącej przez A i B
następnie wzór prostej "k" prostopadłej do 'l" i przechodzącej przez punkt S będący środkiem odcinka |AB|
odległość C i D od prostej "k" powinna być równa
\(\frac {|AB|\sqrt 3} 2\)
i punkty C oraz D powinny należeć do '"k"
b)
S masz już z a)
promień natomiast to odległość S od prostej zawierającej np punkty A i C
c)
jeśli chodzi o pole rombu - pole koła to masz wzór 0.5*d1*d2 - PI r^2
zadanie 5
y = ax + b
punkt P: 5 = 2a + b => b = 5 - 2a
miejsce zerowe: 0 = ax + b
układ
b = 5 - 2a
0 = ax + b
daje
x = (2a-5)/a
0.5 * b * x = 0.5 * (5 - 2a) * (2a-5)/a = 36
dalej już zrobisz sam
zadanie 6
suma dwóch prostych to nadal prosta, prosta ma symetralną do siebie prostopadłą lub pokrywającą (chyba)
po zsumowaniu mamy
6x-8y+12=0
y = ax+b
Ax+By+C=0
a = -A/B
prosta się pokrywa jak jest taka sama, czyli a)
prostopadła jak a1 = -1/a2 => -A1/B1 = B2/A2
w naszej a = -3/4
a) B/A = -4/3
b) B/A = -3/4
c) B/A = -4/3
d) B/A = 1/2
Odp. a) i b)
robione w pamięci więc jak są błędy to nie wyzywaj
a)
wyznaczasz wzór prostej "l" przechodzącej przez A i B
następnie wzór prostej "k" prostopadłej do 'l" i przechodzącej przez punkt S będący środkiem odcinka |AB|
odległość C i D od prostej "k" powinna być równa
\(\frac {|AB|\sqrt 3} 2\)
i punkty C oraz D powinny należeć do '"k"
b)
S masz już z a)
promień natomiast to odległość S od prostej zawierającej np punkty A i C
c)
jeśli chodzi o pole rombu - pole koła to masz wzór 0.5*d1*d2 - PI r^2
zadanie 5
y = ax + b
punkt P: 5 = 2a + b => b = 5 - 2a
miejsce zerowe: 0 = ax + b
układ
b = 5 - 2a
0 = ax + b
daje
x = (2a-5)/a
0.5 * b * x = 0.5 * (5 - 2a) * (2a-5)/a = 36
dalej już zrobisz sam
zadanie 6
suma dwóch prostych to nadal prosta, prosta ma symetralną do siebie prostopadłą lub pokrywającą (chyba
)po zsumowaniu mamy
6x-8y+12=0
y = ax+b
Ax+By+C=0
a = -A/B
prosta się pokrywa jak jest taka sama, czyli a)
prostopadła jak a1 = -1/a2 => -A1/B1 = B2/A2
w naszej a = -3/4
a) B/A = -4/3
b) B/A = -3/4
c) B/A = -4/3
d) B/A = 1/2
Odp. a) i b)
robione w pamięci więc jak są błędy to nie wyzywaj
-
WalnietyDesko
- Rozkręcam się
- Posty: 39
- Rejestracja: 13 paź 2008, 19:09
Super 6 i tak nie rozumię to sobie odpuszczę
Mam jeszcze pare zadań ... a tak naprawdę mam zrobić do piątku 60 zadanek z analitycznej a mam dopiero niecałe 40...
7) Jaką figurę na płaszczyźnie określają podane równania parametryczne:
a)
\(\begin{cases} x=-2+3t \\ y=1-2t \end{cases} t \in <0,4>\)
b)
\(\begin{cases} x=2-t \\ y=1+2t \end{cases} t \in R _{+}U (0)\)
W tym drugim jest rzeczywiste dodatnie dodać 0.
Dana jest prosta k o równaniu parametrycznym
\(\begin{cases} x=3+2t \\ y=-1+2t \end{cases} t \in R\). Znajdź równanie parametryczne:
a) prostej m równoległej do prostej k, przechodzącej przez punkt P(-2,4)
b) prostej n prostopadej do prostej k, przechodzącej przez punkt Q(1,-3)
9)
W kwadracie ABCD dane są wierzchołek A(1,-3) i równanie prostej k: 2x-y=0 w której zawiera sę jedna z przekątnych kwadratu. Znajdź współrzędne wierzchołka C oraz oblicz pole tego kwadratu :p
Mam jeszcze pare zadań ... a tak naprawdę mam zrobić do piątku 60 zadanek z analitycznej a mam dopiero niecałe 40...
7) Jaką figurę na płaszczyźnie określają podane równania parametryczne:
a)
\(\begin{cases} x=-2+3t \\ y=1-2t \end{cases} t \in <0,4>\)
b)
\(\begin{cases} x=2-t \\ y=1+2t \end{cases} t \in R _{+}U (0)\)
W tym drugim jest rzeczywiste dodatnie dodać 0.
Dana jest prosta k o równaniu parametrycznym
\(\begin{cases} x=3+2t \\ y=-1+2t \end{cases} t \in R\). Znajdź równanie parametryczne:
a) prostej m równoległej do prostej k, przechodzącej przez punkt P(-2,4)
b) prostej n prostopadej do prostej k, przechodzącej przez punkt Q(1,-3)
9)
W kwadracie ABCD dane są wierzchołek A(1,-3) i równanie prostej k: 2x-y=0 w której zawiera sę jedna z przekątnych kwadratu. Znajdź współrzędne wierzchołka C oraz oblicz pole tego kwadratu :p
chyba od prostej l bo przecież c i d leza na prostej kodległość C i D od prostej "k" powinna być równa
Phii powinnem nosić Cię za to na rękachrobione w pamięci więc jak są błędy to nie wyzywaj
-
Pol
- Moderator
- Posty: 1026
- Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
- Lokalizacja: Częstochowa
- Otrzymane podziękowania: 137 razy
- Płeć:
dokładnie takchyba od prostej l bo przecież c i d leza na prostej k
czego tam nie rozumiesz? symetralna jest wtedy jak stanowi w pewnym sensie lustro, czyli po obu stronach symetralnej jest ta sama czesc figurySuper 6 i tak nie rozumię to sobie odpuszczę
jeśli linie sie pokrywają no to jasne jest ze jedna z nich jest symetralna drugiej, brak różnic między stronami
jeśli linia jest prostopadła do danej to także jest symetralną
potrafisz narysowac wykres np: y = |x+1| + |x+2| ??
jeśli tak to na takiej samej zasadzie dodajesz dwie funkcje w zadaniu 6, co daje wzór prostej i teraz masz symetralną która jest identycznego wzoru jak ta nasza wyliczona lub która jest prostopadła
sprecyzuj czego nie czaisz w tym zadaniu to najwyżej zrobię obrazek
zadanie 7 i 8 można łatwo rozwiązać jeśli zrozumiesz postać parametryczną, poczytaj na wiki o tym
http://pl.wikipedia.org/wiki/Prosta
-
supergolonka
- Moderator
- Posty: 1869
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
W 6 chodzi o sumę figur, a nie o sumę funkcji
6. http://www.zadania.info/2773519
7. http://www.zadania.info/6406265
8. http://www.zadania.info/3061409
9. http://www.zadania.info/9183390
6. http://www.zadania.info/2773519
7. http://www.zadania.info/6406265
8. http://www.zadania.info/3061409
9. http://www.zadania.info/9183390