Układ współrzędnych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
dorotka460
- Dopiero zaczynam
- Posty: 11
- Rejestracja: 27 mar 2010, 21:23
Układ współrzędnych
Punkty A, B, C, są dowolnymi niewspółliniowymi punktami w układzie współrzędnych. Punkty M i N są odpowiednio środkami odcinków AB i AC, a punkt P jest środkiem odcinka MN. wykaż, że dla dowolnego punktu O, różnego od wymienionych punktów, zachodzi nierówność \(2\vec{OA} +\vec{OB}+\vec{OC}=4\vec{OP}\).
Punkt M=(1/2(xa+xb);1/2(ya+yb))
punkt N=(1/2(xa+xc);1/2(ya+yc)) jako środki odpowiednich odcinków, punkt P=(1/4(2xa+xb+xc);1/4(2ya+yb+yc)), niech O=(xo;yo)
liczymy współrzędne wektorów z lewej strony i mamy:
2[xa-xo;ya-yo]+[xb-xo;yb-yo]+[xc-xo;yc-yo]=[2xa-2xo+xb-xo+xc-xo;2ya-2yo+yb-yo+yc-yo]=[2xa-4xo+xb+xc;2ya-4yo+yb+yc]
po policzeniu współrzędnych prawej strony mamy:
4[xp-xo;yp-yo]=4[1/4(2xa+xb+xc)-xo; 1/4(2ya+yb+yc)-yo]=[1(2xa+xb+xc)-4xo; 1(2ya+yb+yc)-4yo]=[2xa+xb+xc-4xo; 2ya+yb+yc-4yo]
czyli to samo co po prawej stronie
punkt N=(1/2(xa+xc);1/2(ya+yc)) jako środki odpowiednich odcinków, punkt P=(1/4(2xa+xb+xc);1/4(2ya+yb+yc)), niech O=(xo;yo)
liczymy współrzędne wektorów z lewej strony i mamy:
2[xa-xo;ya-yo]+[xb-xo;yb-yo]+[xc-xo;yc-yo]=[2xa-2xo+xb-xo+xc-xo;2ya-2yo+yb-yo+yc-yo]=[2xa-4xo+xb+xc;2ya-4yo+yb+yc]
po policzeniu współrzędnych prawej strony mamy:
4[xp-xo;yp-yo]=4[1/4(2xa+xb+xc)-xo; 1/4(2ya+yb+yc)-yo]=[1(2xa+xb+xc)-4xo; 1(2ya+yb+yc)-4yo]=[2xa+xb+xc-4xo; 2ya+yb+yc-4yo]
czyli to samo co po prawej stronie