Prawdopodobieństwo geometryczne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
zaqws
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 32
Rejestracja: 10 lis 2018, 21:06
Podziękowania: 8 razy

Prawdopodobieństwo geometryczne

Post autor: zaqws »

Na obwodzie koła (na okręgu) o promieniu i środku w początku układu współrzędnych wybrano losowo jeden punkt. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że rzut wylosowanego punktu na oś OX będzie odległy od początku układu współrzędnych o nie więcej niż \(r\) ( \( 0 < r < 1\) ).
Poproszę o jakieś wskazówki.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Prawdopodobieństwo geometryczne

Post autor: panb »

O jakim promieniu?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Prawdopodobieństwo geometryczne

Post autor: panb »

Trzeba długość czerwonych łuków podzielić przez długość całego okręgu. Nie znam promienia (1?, r?) więc to tyle.
Załączniki
ilustracja.png
zaqws
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 32
Rejestracja: 10 lis 2018, 21:06
Podziękowania: 8 razy

Re: Prawdopodobieństwo geometryczne

Post autor: zaqws »

panb pisze: 16 lis 2019, 21:19 O jakim promieniu?
o promieniu równym 1
(przepraszam, przypadkiem mi ominęło tę informację)
zaqws
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 32
Rejestracja: 10 lis 2018, 21:06
Podziękowania: 8 razy

Re: Prawdopodobieństwo geometryczne

Post autor: zaqws »

panb pisze: 16 lis 2019, 21:39 Trzeba długość czerwonych łuków podzielić przez długość całego okręgu. Nie znam promienia (1?, r?) więc to tyle.
tak, wiem
ale z powodu, że \(r\) zmienia swoją wartość, mam problem z obliczeniem długości tych łuków :|
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Prawdopodobieństwo geometryczne

Post autor: panb »

Można skorzystać z całki. To są 4 takie łuki jak ten \(0\le x \le r\).
Górny półokrąg ma równanie \(y=\sqrt{1-x^2} \So y'=- \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \).
Długość tego łuku, to \(\int_{0}^{r} \sqrt{1+(y')^2}dx = \int_{0}^{r} \sqrt{1+ \frac{x^2}{1-x^2} }dx= \int_{0}^{r} \ \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =\arcsin r \)
Wobec tego cały czerwony obszar ma długość \(4\arcsin r\). Dalej już poleci ...
ODPOWIEDZ