potęgowanie liczb zespolonych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
potęgowanie liczb zespolonych
mam problem z tym przykładem, wychodzą mi dziwne kąty
\(
(\frac{1+i}{ \sqrt{3}+i})^{6}
\)
\(
(\frac{1+i}{ \sqrt{3}+i})^{6}
\)
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: potęgowanie liczb zespolonych
\(1+i= \sqrt{2} (\cos 45^ {\circ}+i \sin 45^ {\circ} )\\
\sqrt{3} +i= 2 (\cos 30^ {\circ}+i \sin 30^ {\circ} )\\
\frac{1+i}{\sqrt{3} +i}= \frac{ \sqrt{2} (\cos 45^ {\circ}+i \sin 45^ {\circ} )}{ 2 (\cos 30^ {\circ}+i \sin 30^ {\circ} }= \frac{1}{ \sqrt{2} } (\cos 15^ {\circ}+i \sin 15^ {\circ} )\\
( \frac{1+i}{\sqrt{3} +i})^6= \left[ \frac{1}{ \sqrt{2} } (\cos 15^ {\circ}+i \sin 15^ {\circ} )\right]^6=
\frac{1}{ 8 } (\cos 90^ {\circ}+i \sin 90^ {\circ} ) =\frac{i}{ 8 }\)
\sqrt{3} +i= 2 (\cos 30^ {\circ}+i \sin 30^ {\circ} )\\
\frac{1+i}{\sqrt{3} +i}= \frac{ \sqrt{2} (\cos 45^ {\circ}+i \sin 45^ {\circ} )}{ 2 (\cos 30^ {\circ}+i \sin 30^ {\circ} }= \frac{1}{ \sqrt{2} } (\cos 15^ {\circ}+i \sin 15^ {\circ} )\\
( \frac{1+i}{\sqrt{3} +i})^6= \left[ \frac{1}{ \sqrt{2} } (\cos 15^ {\circ}+i \sin 15^ {\circ} )\right]^6=
\frac{1}{ 8 } (\cos 90^ {\circ}+i \sin 90^ {\circ} ) =\frac{i}{ 8 }\)
Re: potęgowanie liczb zespolonych
jak do tego doszedłeś? ja na początku pomnożyłem liczbe zespoloną przez sprężenie i otrzymałem moduł z liczby zespolonej równy \(\frac{ \sqrt{2} }{2} \) możesz mi to rozpisać od początku?
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: potęgowanie liczb zespolonych
Hmm, nie bardzo wiem co mam tłumaczyć, gdyż powyżej pokazałem jak zadanie rozwiązać. Może doprecyzujesz czego tam nie rozumiesz.
To podejście także jest prawidłowe. Przypuszczam że nie umiałeś wyznaczyć argumentu (kąta) uzyskanej liczby zespolonej.
Re: potęgowanie liczb zespolonych
Zrobiłem to tak, nie wychodzą mi te same kąty co Tobie tylko cos dziwnego
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: potęgowanie liczb zespolonych
Pewnie tego nie wiesz, ale:
\(\sin 15^{\circ}= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} \\
\cos 15^{\circ}= \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4}\)
co uprości postać otrzymanej liczby zespolonej.
Ja uniknąłem tego problemu przez znalezienie postaci trygonometrycznych licznika i mianownika które miały ''ładniejsze'' kąty.
\(\sin 15^{\circ}= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} \\
\cos 15^{\circ}= \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4}\)
co uprości postać otrzymanej liczby zespolonej.
Ja uniknąłem tego problemu przez znalezienie postaci trygonometrycznych licznika i mianownika które miały ''ładniejsze'' kąty.
Re: potęgowanie liczb zespolonych
rozumiem już czyli można rozwiązać to zadanie bez mnożenia przez postać sprężoną? myślałem że trzeba zawsze najpierw sprowadzić do postaci liczby zespolonej x+yi
-
- Expert
- Posty: 6272
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
Re: potęgowanie liczb zespolonych
pomału robi się tu już śmietnik: https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=49&t=59017
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: potęgowanie liczb zespolonych
@micw
Owszem, nie trzeba od razu usuwać zespoloności z mianownika.
Inne rozwiązanie
\((1+i)^6=\left[ \sqrt{2} (\cos 45^ {\circ}+i \sin 45^ {\circ} )\right]^6=8(\cos 270^ {\circ}+i \sin 270^ {\circ} )=8(0+i(-1))=-i8\\
( \sqrt{3} +i)^6=\left[ 2 (\cos 30^ {\circ}+i \sin 30^ {\circ} )\right]^6=64(\cos 180^ {\circ}+i \sin 180^ {\circ} )=64(-1+i0)=-64\\
\\
( \frac{1+i}{\sqrt{3} +i})^6=\frac{-i8}{-84}= \frac{i}{ 8 }\)
@ korki_fizyka
Chyba nie to chciałeś zalinkować.
Sądziłem, może błędnie, iż tutaj do obrazków podchodzi się mniej rygorystycznie niż na matematyka.pl .
Owszem, nie trzeba od razu usuwać zespoloności z mianownika.
Inne rozwiązanie
\((1+i)^6=\left[ \sqrt{2} (\cos 45^ {\circ}+i \sin 45^ {\circ} )\right]^6=8(\cos 270^ {\circ}+i \sin 270^ {\circ} )=8(0+i(-1))=-i8\\
( \sqrt{3} +i)^6=\left[ 2 (\cos 30^ {\circ}+i \sin 30^ {\circ} )\right]^6=64(\cos 180^ {\circ}+i \sin 180^ {\circ} )=64(-1+i0)=-64\\
\\
( \frac{1+i}{\sqrt{3} +i})^6=\frac{-i8}{-84}= \frac{i}{ 8 }\)
@ korki_fizyka
Chyba nie to chciałeś zalinkować.
Sądziłem, może błędnie, iż tutaj do obrazków podchodzi się mniej rygorystycznie niż na matematyka.pl .
-
- Expert
- Posty: 6272
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
Re: potęgowanie liczb zespolonych
i bardzo źle, bo te obrazki: 1. są za duże, 2. znikną szybciej niż się nam wydaje, 3. ...
i po 13. wydaje mi sie,że jak autor postu oczekuje od nas pomocy, to mógłby zdobyć się choć na:
1. zastosowanie do regulaminu, 2. przepisanie słupków w LaTeX'e, 3....
a nie tylko założenie nowego nicka i ...dalej jak na pisz.matematyka.pl
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: potęgowanie liczb zespolonych
A kto Twoim zdaniem ma tego pilnować i odpowiednio reagować. Czyżby ja?
Na matematyka.pisz.pl chyba nie ma żadnych zasad, ale brak tam sensownego Texa. Resztki wzroku bym stracił gdybym tam się udzielał.
Na matematyka.pisz.pl chyba nie ma żadnych zasad, ale brak tam sensownego Texa. Resztki wzroku bym stracił gdybym tam się udzielał.
-
- Expert
- Posty: 6272
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
Re: potęgowanie liczb zespolonych
A czy ja do Ciebie piłem?? Ktoś tu przecież zakładał "nowy silnik" przez całe wakacje i takie tam..
ale widzę, że to się z czasem dzieje na każdym forum, niektóre szybciej schodzą na psy a inne wolniej a jeszcze inne znikają. Myślę jednak, że nie należy odpowiadać na posty, które są byle jakie ale to jest moja prywatna opinia. Może jak założę swoje forum to będę je wyrzucał do kosza a tak to tylko dyskutuję
ale widzę, że to się z czasem dzieje na każdym forum, niektóre szybciej schodzą na psy a inne wolniej a jeszcze inne znikają. Myślę jednak, że nie należy odpowiadać na posty, które są byle jakie ale to jest moja prywatna opinia. Może jak założę swoje forum to będę je wyrzucał do kosza a tak to tylko dyskutuję
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl