równanie płaszczyzn
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 738
- Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
- Podziękowania: 258 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć:
równanie płaszczyzn
Napisać równanie ogólne i parametryczne płaszczyzn, które są dwusiecznymi kątów dwuściennych przez płaszczyzny:
\(\pi _1: 5x+y-z+24=0\)
\(\pi _2:\)
\(x=1+2s-t\)
\(y=1+s-2t\)
\(z=-s-t\)
\(s,t \in R\)
\(\pi _1: 5x+y-z+24=0\)
\(\pi _2:\)
\(x=1+2s-t\)
\(y=1+s-2t\)
\(z=-s-t\)
\(s,t \in R\)
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Niech \(v_1\) i \(v_2\) będą unormowanymi (czyli o długości 1) wektorami normalnymi podanych płaszczyzn. Wtedy wektory normalne szukanych płaszczyzn to \(v_1+v_2\) oraz \(v_1-v_2\). Musisz jeszcze wybrać dowolny punkt z prostej będącej częścią wspólną podanych płaszczyzn. Będzie on punktem zaczepienia szukanych płaszczyzn.
Zakładam, że poradzisz sobie z rachunkami.
Zakładam, że poradzisz sobie z rachunkami.
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Dobierz sobie dowolną wartość s (np: s=0) a dostaniesz t. Możesz tak zrobić gdyż płaszczyznę możesz zaczepić w dowolnym punkcie prostej będącej częścią wspólną podanych płaszczyzn. I tak szukane płaszczyzny będą zawierały całą prostą (jest ona osią pęku płaszczyzn zawierających płaszczyzny zadane oraz szukane).
Jakie wyszły Ci unormowane wektory normalne płaszczyzn \(\pi_1 \ i \ \pi_2\) ?
Jakie wyszły Ci unormowane wektory normalne płaszczyzn \(\pi_1 \ i \ \pi_2\) ?
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Czyli masz punkt w którym zaczepisz szukane proste. Wstawiając do równania parametrycznego płaszczyzny \(\pi_2\) wartości parametrów s, t dostałaś \(P=(-4,-9,-5)\)
W równaniu ogólnym płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0 wektorem normalnym jest n=[A,B,C].
W równaniu parametrycznym musisz go wyliczyć z iloczynu wektorowego wektorów na których rozpinasz płaszczyznę. Tu liczysz n=[2,1,-1]x[-1,-2,-1].
Wektor unormowany dostaniesz przez podzielenie współrzędnych wektora przez jego długość.
Np:
\(\vec{k} = \left[ 2,-1,-2\right] \\
| \vec{k}|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2} =3\\
\vec{k_u}= \left[ \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3} \right]\)
W równaniu ogólnym płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0 wektorem normalnym jest n=[A,B,C].
W równaniu parametrycznym musisz go wyliczyć z iloczynu wektorowego wektorów na których rozpinasz płaszczyznę. Tu liczysz n=[2,1,-1]x[-1,-2,-1].
Wektor unormowany dostaniesz przez podzielenie współrzędnych wektora przez jego długość.
Np:
\(\vec{k} = \left[ 2,-1,-2\right] \\
| \vec{k}|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2} =3\\
\vec{k_u}= \left[ \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3} \right]\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 738
- Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
- Podziękowania: 258 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć:
Re:
kerajs pisze:Czyli masz punkt w którym zaczepisz szukane proste. Wstawiając do równania parametrycznego płaszczyzny \(\pi_2\) wartości parametrów s, t dostałaś \(P=(-4,-9,-5)\)
W równaniu ogólnym płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0 wektorem normalnym jest n=[A,B,C].
W równaniu parametrycznym musisz go wyliczyć z iloczynu wektorowego wektorów na których rozpinasz płaszczyznę. Tu liczysz n=[2,1,-1]x[-1,-2,-1].
Wektor unormowany dostaniesz przez podzielenie współrzędnych wektora przez jego długość.
Np:
\(\vec{k} = \left[ 2,-1,-2\right] \\
| \vec{k}|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2} =3\\
\vec{k_u}= \left[ \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3} \right]\)
Mi wyszło tak:
\(\vec{k} = \left[ -3,3,-3\right] \\
| \vec{k}| =3 \sqrt{3} \\
\vec{k_u}= \left[ -\frac{1}{ \sqrt{3} }, \frac{1}{ \sqrt{3} }, -\frac{1}{ \sqrt{3} } \right]\)
co dalej?
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
\(\vec{n_1}= \left[ 5,1,-1\right]\)
\(\vec{n_{1u}}= \left[ \frac{5}{3 \sqrt{3} } , \frac{1}{3 \sqrt{3} }, \frac{-1}{3 \sqrt{3} }\right]\)
\(S_1:\\
\vec{v_1}= \vec{n_{1u}} +\vec{n_{2u}}= \left[ \frac{5}{3 \sqrt{3} } , \frac{1}{3 \sqrt{3} }, \frac{-1}{3 \sqrt{3} }\right]+ \left[ \frac{-1}{ \sqrt{3} } , \frac{1}{ \sqrt{3} }, \frac{-1}{ \sqrt{3} }\right]= \left[ \frac{2}{3 \sqrt{3} } , \frac{4}{3 \sqrt{3} }, \frac{-4}{3 \sqrt{3} }\right]\\
\\
\frac{2}{3 \sqrt{3} } (x-(-4))+ \frac{4}{3 \sqrt{3} }(y-(-9)) +\frac{-4}{3 \sqrt{3} }(z-(-5))=0\\
\frac{2}{3 \sqrt{3} }x + \frac{4}{3 \sqrt{3} }y,+\frac{-4}{3 \sqrt{3} }z+\frac{24}{3 \sqrt{3} } =0\)
\(S_2:\\
\vec{v_2}= \vec{n_{1u}} -\vec{n_{2u}}= \left[ \frac{5}{3 \sqrt{3} } , \frac{1}{3 \sqrt{3} }, \frac{-1}{3 \sqrt{3} }\right]- \left[ \frac{-1}{ \sqrt{3} } , \frac{1}{ \sqrt{3} }, \frac{-1}{ \sqrt{3} }\right]= \left[ \frac{8}{3 \sqrt{3} } , \frac{-2}{3 \sqrt{3} }, \frac{2}{3 \sqrt{3} }\right]\\
\\
\frac{8}{3 \sqrt{3} } (x-(-4))+ \frac{-2}{3 \sqrt{3} }(y-(-9)) +\frac{2}{3 \sqrt{3} }(z-(-5))=0\\
\frac{8}{3 \sqrt{3} }x + \frac{-2}{3 \sqrt{3} }y,+\frac{2}{3 \sqrt{3} }z+\frac{24}{3 \sqrt{3} } =0\)
\(\vec{n_{1u}}= \left[ \frac{5}{3 \sqrt{3} } , \frac{1}{3 \sqrt{3} }, \frac{-1}{3 \sqrt{3} }\right]\)
\(S_1:\\
\vec{v_1}= \vec{n_{1u}} +\vec{n_{2u}}= \left[ \frac{5}{3 \sqrt{3} } , \frac{1}{3 \sqrt{3} }, \frac{-1}{3 \sqrt{3} }\right]+ \left[ \frac{-1}{ \sqrt{3} } , \frac{1}{ \sqrt{3} }, \frac{-1}{ \sqrt{3} }\right]= \left[ \frac{2}{3 \sqrt{3} } , \frac{4}{3 \sqrt{3} }, \frac{-4}{3 \sqrt{3} }\right]\\
\\
\frac{2}{3 \sqrt{3} } (x-(-4))+ \frac{4}{3 \sqrt{3} }(y-(-9)) +\frac{-4}{3 \sqrt{3} }(z-(-5))=0\\
\frac{2}{3 \sqrt{3} }x + \frac{4}{3 \sqrt{3} }y,+\frac{-4}{3 \sqrt{3} }z+\frac{24}{3 \sqrt{3} } =0\)
\(S_2:\\
\vec{v_2}= \vec{n_{1u}} -\vec{n_{2u}}= \left[ \frac{5}{3 \sqrt{3} } , \frac{1}{3 \sqrt{3} }, \frac{-1}{3 \sqrt{3} }\right]- \left[ \frac{-1}{ \sqrt{3} } , \frac{1}{ \sqrt{3} }, \frac{-1}{ \sqrt{3} }\right]= \left[ \frac{8}{3 \sqrt{3} } , \frac{-2}{3 \sqrt{3} }, \frac{2}{3 \sqrt{3} }\right]\\
\\
\frac{8}{3 \sqrt{3} } (x-(-4))+ \frac{-2}{3 \sqrt{3} }(y-(-9)) +\frac{2}{3 \sqrt{3} }(z-(-5))=0\\
\frac{8}{3 \sqrt{3} }x + \frac{-2}{3 \sqrt{3} }y,+\frac{2}{3 \sqrt{3} }z+\frac{24}{3 \sqrt{3} } =0\)