Obrót równoległoboku
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Obrót równoległoboku
Dany jest równoległobok o bokach długości 2cm i 2 \sqrt{3} cm oraz kącie ostrym \pi /12. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej przez obrót równoległoboku wokół dłuższego boku.
W wyniku obrotu otrzymujemy walec o wysokości \(2\sqrt{3}\) z wyciętym stożkiem o tej samej podstawie i "doklejonym" takim samym stożkiem. Tworząca stożka ma długość 2.
Objętość tej bryły jest więc równa objętości walca.
Pole powierzchni to suma powierzchni bocznej walca i podwojonej powierzchni bocznej opisywanego stożka.
wystarczy obliczyć promień wspólnej podstawy walca i obu stożków. Promień ten to wysokość równoległoboku opuszczona na dłuższy bok.
\(\frac{r}{2}=sin(\frac{\pi}{12})\\r=2sin(\frac{\pi}{12})\)
\(sin(\frac{\pi}{12})=sin(\frac{\pi}{4})-sin(\frac{\pi}{6})\sin(\frac{\pi}{4})cos(\frac{\pi}{6})-sin(\frac{\pi}{6})cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\r=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)
Objętość:
\(V=\pi\cdot(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^2\cdot2\sqrt{3}=\pi\cdot\frac{8-4\sqrt{3}}{4}\cdot2\sqrt{3}=\pi(4\sqrt{3}-6)\)
Pole powierzchni:
\(P_c=2\pi\ r\cdot2\sqrt{3}+2\pi\ r\cdot2=4\pi\ r(\sqrt{3}+1)=4\pi\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\cdot(\sqrt{3}+1)=\\=2\pi(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)=4\sqrt{2}\pi\)
Sprawdź jeszcze te obliczenia
Objętość tej bryły jest więc równa objętości walca.
Pole powierzchni to suma powierzchni bocznej walca i podwojonej powierzchni bocznej opisywanego stożka.
wystarczy obliczyć promień wspólnej podstawy walca i obu stożków. Promień ten to wysokość równoległoboku opuszczona na dłuższy bok.
\(\frac{r}{2}=sin(\frac{\pi}{12})\\r=2sin(\frac{\pi}{12})\)
\(sin(\frac{\pi}{12})=sin(\frac{\pi}{4})-sin(\frac{\pi}{6})\sin(\frac{\pi}{4})cos(\frac{\pi}{6})-sin(\frac{\pi}{6})cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\r=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)
Objętość:
\(V=\pi\cdot(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^2\cdot2\sqrt{3}=\pi\cdot\frac{8-4\sqrt{3}}{4}\cdot2\sqrt{3}=\pi(4\sqrt{3}-6)\)
Pole powierzchni:
\(P_c=2\pi\ r\cdot2\sqrt{3}+2\pi\ r\cdot2=4\pi\ r(\sqrt{3}+1)=4\pi\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\cdot(\sqrt{3}+1)=\\=2\pi(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)=4\sqrt{2}\pi\)
Sprawdź jeszcze te obliczenia