Mam problem z tym równaniem: y'+tgy=x/cosy.
Mnożę je przez cosy obustronnie i dostaje y'cosy+siny=x i co mam z tym dalej robić?
Z góry dziękuje za pomoc.
Równanie różniczkowe I rzędu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Bo widzisz, ja nie zauważyłem tego podstawienia sprowadzającego równanie do równania liniowego, lecz metodą poszukiwania czynnika całkującego (to m(x) o które pytasz) doprowadziłem równanie do równania zupełnego. Możesz je rozwiązać (o ile taki typ równania znasz i potrafisz rozwiązywać) lub liczyć zgodnie z podpowiedzią:
\(z= \sin y \So z'=\cos y \cdot y'\) co daje równanie liniowe:
\(z'+z=x\\
...\\
z=e^{-x}+x-1\\
\sin y=e^{-x}+x-1\)
\(z= \sin y \So z'=\cos y \cdot y'\) co daje równanie liniowe:
\(z'+z=x\\
...\\
z=e^{-x}+x-1\\
\sin y=e^{-x}+x-1\)
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
To kiepsko, że równania liniowego nie umiesz rozwiązać. Zwykle używa się metody uzmienniania stałej, rzadziej czynnika całkującego. W tym przykładzie współczynniki są stałe więc wystarczy przewidywanie.
\(z'+z=x\\
RU
z'+z=0\\
\frac{dz}{z}=-dx\\
\ln z=-x+C\\
\ln z=\ln e^{-x}+\ln C\\
z_o=Ce^{-x}\)
\(z_s=Ax+B\\
(A)+(Ax+B)=x\\
A=1 \wedge B=-1\\
z=z_o+z_s=Ce^{-x}+x-1\\
\sin y=Ce^{-x}+x-1\)
I taką uwikłaną postać wyniku bym zostawił (przy okazji widać, że w poprzednim poscie brakowało stałej C. Miałeś mieć satysfakcję znajdując ten oczywisty brak, ale nie wpadłem na to że w ogóle nie umiesz rozwiązać równania liniowego).
Kalkulator próbuje podać jawną postać:
\(y=\arcsin (Ce^{-x}+x-1)\)
zupełnie niepotrzebnie wrzucając tam minusy:
\(y=-\arcsin \left[ - (Ce^{-x}+x-1)\right]\)
I taki wynik wyświetla liczydło. Niestety ignoruje on okresowość wyniku który raczej powinien wyglądać tak:
\(y=k2 \pi +\arcsin (Ce^{-x}+x-1) \vee y=k2 \pi + \frac{ \pi }{2} -\arcsin (Ce^{-x}+x-1)\)
Dlatego ''lepszym'' wynikiem jest:
\(\sin y=Ce^{-x}+x-1\)
\(z'+z=x\\
RU
z'+z=0\\
\frac{dz}{z}=-dx\\
\ln z=-x+C\\
\ln z=\ln e^{-x}+\ln C\\
z_o=Ce^{-x}\)
\(z_s=Ax+B\\
(A)+(Ax+B)=x\\
A=1 \wedge B=-1\\
z=z_o+z_s=Ce^{-x}+x-1\\
\sin y=Ce^{-x}+x-1\)
I taką uwikłaną postać wyniku bym zostawił (przy okazji widać, że w poprzednim poscie brakowało stałej C. Miałeś mieć satysfakcję znajdując ten oczywisty brak, ale nie wpadłem na to że w ogóle nie umiesz rozwiązać równania liniowego).
Kalkulator próbuje podać jawną postać:
\(y=\arcsin (Ce^{-x}+x-1)\)
zupełnie niepotrzebnie wrzucając tam minusy:
\(y=-\arcsin \left[ - (Ce^{-x}+x-1)\right]\)
I taki wynik wyświetla liczydło. Niestety ignoruje on okresowość wyniku który raczej powinien wyglądać tak:
\(y=k2 \pi +\arcsin (Ce^{-x}+x-1) \vee y=k2 \pi + \frac{ \pi }{2} -\arcsin (Ce^{-x}+x-1)\)
Dlatego ''lepszym'' wynikiem jest:
\(\sin y=Ce^{-x}+x-1\)