Szereg Maclaurina

[Artegor]

Korzystając z rozwinięcia Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne:


\(f^{(100)}(0)\)

gdzie:

\(f(x)= \frac{x}{1-x^2}\)


Nie wiem dlaczego współczynnik przy \(x^n\)wynosi 0.

[Artegor]

Gdy rozpisuje ten szereg jako:
\(\sum_{n=0}^{ \infty } x^{2n+1}\)


to \(2n+1=100\)

czyli \(2n=99\)

co dalej z tym moge zrobić?

[panb]

Dobrze rozwinąłeś w szereg.
Z tego rozwinięcia wynika, że każda pochodna parzystego rzędu jest równa 0 dla x=0.
Zatem \(f^{100}(0)=0\)

Dlaczego piszesz "... obliczyć pochodne"? Chodziło o jedną, tak?

[Artegor]

Tak chodzi o tą jedną konkretną. Nie widze jednak tego, że każda pochodna parzystego rzędu jest równa 0.

[kerajs]

\(\frac{x}{1-x^2}= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-x}- \frac{1}{1+x}\right)\)
\(\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+....\\
\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+....\\
\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}=2x+2x^3+2x^5+...\\
\frac{x}{1-x^2}= \frac{1}{2}(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x})=x+x^3+x^5+...\)

[panb]

Przecież w szeregu Maclaurina przy kolejnych potęgach iksa stoją pochodne w zerze.
Nie ma potęg parzystych - znaczy pochodne są równe zero.
Czego tu nie rozumieć?