Pochodna funkcji zlozonej

[dobrzyc]

Oblicz pochodna :
\(f(x)= arc tg (ln \frac{x}{e-x} + \frac{e ^{3x}}{ \sqrt[3]{x^2} } )\)

[korki_fizyka]

Najpierw obliczasz pochodną arcusa, potem sumy tego co jest w nawiasie tutaj tez zastosuj wzory na pochodna ilorazu. Pokaż co ci wyszło.

[dobrzyc]

...= \(\frac{1}{ ln \frac{x}{e-x} + \frac{e ^{3x}}{ \sqrt[3]{x^2} }} \cdot [ \frac{1}{ \frac{x}{e-x} } + \frac{e^{3x} \sqrt[3]{x^2} - e^{3x} \cdot \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}}{x^3}\)

[korki_fizyka]

\([arctgx]' = \frac{1}{1+x^2}\)

[dobrzyc]

czyli wszystko to co jest w mianowniku w pierwszym ulamku podniesc do kwadratu i dodac 1?

[dobrzyc]

reszta jest dobrze?

[korki_fizyka]

Jaka reszta? przecież to jest niedokończone więc nie ma o czym mówić, a poza tym arcusów nie ma w szkole średniej.

[korki_fizyka]

Zapoznaj się z przykładami: 19 i 29: https://www.matematyka.pl/206123.htm

[korki_fizyka]

czyli wszystko to co jest w mianowniku w pierwszym ulamku podniesc do kwadratu i dodac 1?

Tak, a potem należy pomnożyć to przez pochodną tego co jest w nawiasie (..)'
to się nazywa pochodna funkcji złożonej, jej obliczanie przypomina obieranie cebuli, po kolei obliczamy pochodne funkcji zewnętrznej i wewnętrznej i wewnętrznej i..

więc pochodna (..)' = sumie pochodnych dwóch funkcji:
\((ln \frac{x}{e-x} )' = \frac{e-x}{x}( \frac{x}{e-x} )'\) = ..
oraz pochodnej ilorazu \(( \frac{e^{3x}}{x^{2/3} } )'\) , którą policzysz wg wzoru: \((\frac{f}{g})' = \frac{f'g-fg'}{g^2}\)

do obliczeń pomocne będą też wzory: \((e^{ax})'=ae^{ax}\) i \((x^n)' = nx^{n-1}\).