szeregi, pomoze ktos?

[lemon1617]

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{\frac{1}{n^n+1}}\)

\(\sum_{n=1}^{ \infty }\sin \frac{1}{n}* \cos\frac{1}{n}\)

\(\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n+1}*\frac{10^n}{n!}\)

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+(-1)^n}{n^2}\)

\(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^{n+1}*n*(\frac{3}{4})^{n-1}\)

[radagast]

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{\frac{1}{n^n+1}}\)

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{\frac{1}{n^n+1}}\) -rozbieżny na mocy kryterium porównawczego:

\(\sqrt[n]{\frac{1}{n^n+1}}= \frac{1}{\sqrt[n]{n^n+1}} \ge\frac{1}{\sqrt[n]{n^n}+1}= \frac{1}{n+1}\)
tymczasem szereg \(\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n+1}\) - rozbieżny (jeżeli wykładnik zamiast \(n\) jest \(2\) , tak jak w poprzednim Twoim poście, to tym bardziej )

[lemon1617]

dziękuję, pomożesz mi jeszcze z tym sinusem i cosinusem?

I możesz mi powiedzieć czy następne przyłady dobrze rozwiazałam?

3przykład zrobiłam z granicy, ale wyszła mi nieoznaczona, wiec zrobiłam z granicy (an+1)/an i wyszło 0 no i porównałam że an>an+1... wyszło że zbieżne na podstawie kryterium Leibniza

4 przykład zrobiłam z niego wartośc bezwzględną i wyszedł szereg 3/n^2 i jak 3 wyłącze przed szereg to zostaje 1/n^2... czyli jest zbieżny bezwzględnie?

a ostati przykład też granicę (an+1)/an i wyszło 3/4 co jest mniejsze od 1 wiec zbiezny szereg, mogę tak robić jak szereg jest naprzemienny?

[radagast]

\(\sum_{n=1}^{ \infty }\sin \frac{1}{n}* \cos\frac{1}{n}\)

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty }\sin \frac{1}{n} \cdot \cos\frac{1}{n}\)
rozbieżny na podstawie kryterium porównawczego:
\(\sin \frac{1}{n} \cdot \cos\frac{1}{n}=\frac{1}{2} \sin \frac{2}{n} > \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n}\)
tymczasem szereg \(\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n}\) jest rozbieżny