prosze o pomoc w rozwiazaniu tych szeregów

[lemon1617]

mógłby ktoś krok po kroku napisac jak je rozwiązywac?
tak, znam kryteria rozwiazywania szerwgów ale w tych ich nie widzę :/

\(\sum_{ n=1}^{ \infty }\ln (n^2+1)/n^2\)

\(\sum_{n=1}^{ \infty }2^n* \sin ( \pi/3^n)\)

\(\sum_{n=1}^{ \infty } 1(/n)(3/5)^n\)

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{1/N^2+1}\)

\(\sum_{n=1}^{ \infty } (\sin1/n* \cos1/n)\)

\(\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^(n+1) *10^n/n!\)

\(\sum_{n=1}^{ \infty }[2+(-1)^n]/n^2\)

\(\sum_{n=1}^{ \infty }[(-1)^(n+1)]*n*(3/4)^(n-1)\)

[radagast]

mógłby ktoś krok po kroku napisac jak je rozwiązywac?
tak, znam kryteria rozwiazywania szerwgów ale w tych ich nie widzę :/

\(\sum_{ n=1}^{ \infty }\ln (n^2+1)/n^2\)

Tak to zapisane , że nie wiadomo o co chodzi
ale spróbuję:
\(\displaystyle \sum_{ n=1}^{ \infty }\ln \frac{n^2+1}{n^2}\) zbieżny , na podstawie kryterium porównawczego: \(\left(\ln \frac{n^2+1}{n^2}< \frac{1}{n^2}\ i\ szereg\ \displaystyle \sum_{ n=1}^{ \infty }\ln \frac{1}{n^2} \ jest \ zbieżny \right)\)

[radagast]

\(\sum_{n=1}^{ \infty }2^n* \sin ( \pi/3^n)\)

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty }2^n \cdot \sin \frac{\pi}{3^n}\) - zbieżny na podstawie kryterium d'Alemberta:
\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1} \cdot \sin \frac{\pi}{3^{n+1}}}{2^n \cdot \sin \frac{\pi}{3^n}}=2 \cdot \frac{ \sin \frac{\pi}{3^{n+1}}}{\sin \frac{\pi}{3^n}}= 2 \cdot \frac{ \sin \frac{\pi}{3^{n+1}}}{\sin \frac{\pi}{3^n}}\cdot \frac{ \frac{\pi}{3^{n}}}{ \frac{\pi}{3^n}} \cdot \frac{ \frac{\pi}{3^{n+1}}}{ \frac{\pi}{3^{n+1}}}=
2 \cdot \frac{ \sin \frac{\pi}{3^{n+1}}}{\frac{\pi}{3^{n+1}}}\cdot \frac{ \frac{\pi}{3^{n+1}} }{ \frac{\pi}{3^n}} \cdot \frac{ \frac{\pi}{3^{n}} }{ \sin \frac{\pi}{3^n}}\to\\
\to 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot 1= \frac{2}{3}<1\)

[radagast]

\(\sum_{n=1}^{ \infty } 1(/n)(3/5)^n\)

Tego zapisu nie rozumiem - popraw

[lemon1617]

\(\sum_{n=1}^{ \infty } (\frac{1}{n})(\frac{3}{5})^n\)

[radagast]

\(\sum_{n=1}^{ \infty } (\frac{1}{n})(\frac{3}{5})^n\)

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{1}{n}\right) \left( \frac{3}{5}\right) ^n\) zbieżny na podstawie kryterium Cauchy'ego.
\(\sqrt[n]{ \left( \frac{1}{n}\right) \left( \frac{3}{5}\right) ^n}= \sqrt[n]{ \frac{1}{n}} \cdot \frac{3}{5}\to1 \cdot \frac{3}{5}= \frac{3}{5}<1\)

[radagast]

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{1/N^2+1}\)

zgaduję , ze chodzi o :
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n^2+1} }\),a ten jest zbieżny na podstawie kryterium Cauchy'ego
\(\sqrt[n]{ \sqrt[n]{ \frac{1}{n^2+1}} } = \left(\frac{1}{n^2+1} \right) ^{ \frac{1}{n^2} }= \frac{1}{\left(n^2+1\right) ^{ \frac{1}{n^2} }}=\frac{1}{\left( \frac{1}{k^2} +1\right) ^{k^2}}\to \frac{1}{e}<1\)