11/1
jaką liczbą wymierną czy niewymierną jest liczba
\(\sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 }- \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }\)
jaką liczbą wymierną czy niewymierną jest liczba
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
alibaba8000
- Stały bywalec
- Posty: 563
- Rejestracja: 15 paź 2015, 15:46
- Podziękowania: 360 razy
- Płeć:
-
sebnorth
- Stały bywalec
- Posty: 871
- Rejestracja: 11 gru 2010, 17:46
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
- Płeć:
\(x = \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{ \sqrt{5}-2}\)
\(x^3 = \sqrt{5}+2 - \sqrt{5}+2 - 3\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\left(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{ \sqrt{5}-2} \right) = 4 - 3x\)
\(x^3 + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x^2 + x + 4) = 0\), drugi nawias ma ujemny wyróżnik, więc liczba \(x=1\) jest jedynym pierwiastkiem tego wielomianu, skąd:
\(x = \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=1\)
\(x^3 = \sqrt{5}+2 - \sqrt{5}+2 - 3\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\left(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{ \sqrt{5}-2} \right) = 4 - 3x\)
\(x^3 + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x^2 + x + 4) = 0\), drugi nawias ma ujemny wyróżnik, więc liczba \(x=1\) jest jedynym pierwiastkiem tego wielomianu, skąd:
\(x = \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=1\)
-
kelly128
- Czasem tu bywam
- Posty: 105
- Rejestracja: 25 lip 2016, 09:06
- Lokalizacja: Kraków
- Otrzymane podziękowania: 46 razy
- Płeć:
Re: jaką liczbą wymierną czy niewymierną jest liczba
\(\sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 }- \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }=x \\ \sqrt{5}+2-3 \sqrt[3]{( \sqrt{5}+2)^2 } \cdot \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }+3 \sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 } \cdot \sqrt[3]{ (\sqrt{5}-2)^2 }- \sqrt{5}+2 =x^3 \\ 4-3 \sqrt[3]{ ( \sqrt{5}+2) ( \sqrt{5}-2) } ( \sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 }- \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 })=x^3 \\ 4-3 ( \sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 }- \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 })=x^3 \\ 4-3x=x^3 \\ (x-1)(x^2+x+4)=0 \ \So \ x=1\)