\(\frac{(x-5) ^{2} }{144} + \frac{(y-5) ^{2} }{256} - \frac{ z^{2} }{225} =1\)
\(z\left\langle -10,0\right\rangle\)
Pole i objętość fragmentu hiperboloidy jednopowłokowej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
pospolitus
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 23 sty 2015, 19:55
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Wprowadzamy współrzędne cylindryczne/walcowe
\(\begin{cases} \frac{x-5}{12}=r\cos\varphi \So x=5+12r\cos\varphi \\ \frac{y-5}{16}=r\sin\varphi \So y=5+16r\sin\varphi \\z=z\end{cases}\)
Jakobian tego przekształcenia \(|J|= \begin{vmatrix}12\cos\varphi&-12r\sin\varphi\\16\sin\varphi&16r\cos\varphi \end{vmatrix}=16\cdot12 r=192r\)
Równanie tej powierzchni przyjmuje postać \(r^2- \frac{z^2}{225}=1 \iff r=\sqrt{ \frac{z^2}{225}+1 }\), więc zmienne maja następujące zakresy:
\(\begin{cases} -10\le z \le 0\\ 0\le \varphi \le 2\pi\\ 0 \le r \le \sqrt{ \frac{z^2}{225}+1 }\end{cases}\), objetość wyraża sie całką \(V= \int_{0}^{2\pi} \int_{-10}^{0} \left( \int_{0}^{\sqrt{ \frac{z^2}{225}+1 }}192r dr \right) dz\)
Zatem \(V=2\pi \cdot 192 \cdot \frac{1}{2} \int_{-10}^{0} \left( \frac{z^2}{225}+1 \right)dz=192 \cdot \frac{310}{27}\pi= \frac{19840}{9}\pi\)
A tak to wygląda:
\(\begin{cases} \frac{x-5}{12}=r\cos\varphi \So x=5+12r\cos\varphi \\ \frac{y-5}{16}=r\sin\varphi \So y=5+16r\sin\varphi \\z=z\end{cases}\)
Jakobian tego przekształcenia \(|J|= \begin{vmatrix}12\cos\varphi&-12r\sin\varphi\\16\sin\varphi&16r\cos\varphi \end{vmatrix}=16\cdot12 r=192r\)
Równanie tej powierzchni przyjmuje postać \(r^2- \frac{z^2}{225}=1 \iff r=\sqrt{ \frac{z^2}{225}+1 }\), więc zmienne maja następujące zakresy:
\(\begin{cases} -10\le z \le 0\\ 0\le \varphi \le 2\pi\\ 0 \le r \le \sqrt{ \frac{z^2}{225}+1 }\end{cases}\), objetość wyraża sie całką \(V= \int_{0}^{2\pi} \int_{-10}^{0} \left( \int_{0}^{\sqrt{ \frac{z^2}{225}+1 }}192r dr \right) dz\)
Zatem \(V=2\pi \cdot 192 \cdot \frac{1}{2} \int_{-10}^{0} \left( \frac{z^2}{225}+1 \right)dz=192 \cdot \frac{310}{27}\pi= \frac{19840}{9}\pi\)
A tak to wygląda:
- graph.png (35.82 KiB) Przejrzano 2386 razy