Usuwanie pierwiastków wielokrotnych

[Robakks]

Wykaż że

\(\frac{W \left( x\right) }{\gcd \left(W \left( x\right),W'\left( x\right) \right) }\)
ma te same pierwiastki co \(W \left(x \right)\)

[octahedron]

\(W(x)=(x-a)^kQ(x),\quad k>1,\,Q(a)\ne 0\\
W'(x)=k(x-a)^{k-1}Q(x)+(x-a)^kQ'(x)=(x-a)^{k-1}\bigg(kQ(x)+(x-a)Q'(x)\bigg)=(x-a)^{k-1}P(x)\\
P(a)=kQ(a)\ne 0\\\)
Zatem w \(W'(x)\) krotność \(a\) to \(k-1\)