Zbadaj ekstrema funkcji:
\(f(x,y)\) = \(x^3\) + \(3x^2y\) - \(6xy\) - \(3y^2\) - \(15x\) - \(15y\)
Zbadać ekstrema funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
strawberry9
- Dopiero zaczynam
- Posty: 12
- Rejestracja: 04 maja 2016, 12:50
- Podziękowania: 7 razy
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
\(\begin{cases}f_x=3x^2+6xy-6y-15=0\\f_y=3x^2-6x-6y-15=0\end{cases}\\
6xy=-6x\quad\Rightarrow\quad x=0\,\vee\,y=-1\\
x=0\quad\Rightarrow\quad -6y-15=0\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{5}{2}\\
y=-1\quad\Rightarrow\quad 3x^2-6x-9=0\quad\Rightarrow\quad x=-1\,\vee\,x=3\\
W(x,y)=\det\begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{vmatrix}=\det\begin{vmatrix}6(x+y)&6(x-1)\\6(x-1)&-6\end{vmatrix}=-36(x+y+(x-1)^2)\\
W\left(0,-\frac{5}{2}\right)>0\,\wedge\,f_{xx}\left(0,-\frac{5}{2}\right)<0\quad\Rightarrow\quad\text{maksimum}\\
W(-1,-1)<0\quad\Rightarrow\quad\text{brak}\\
W(3,-1)<0\quad\Rightarrow\quad\text{brak}\\\)
6xy=-6x\quad\Rightarrow\quad x=0\,\vee\,y=-1\\
x=0\quad\Rightarrow\quad -6y-15=0\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{5}{2}\\
y=-1\quad\Rightarrow\quad 3x^2-6x-9=0\quad\Rightarrow\quad x=-1\,\vee\,x=3\\
W(x,y)=\det\begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{vmatrix}=\det\begin{vmatrix}6(x+y)&6(x-1)\\6(x-1)&-6\end{vmatrix}=-36(x+y+(x-1)^2)\\
W\left(0,-\frac{5}{2}\right)>0\,\wedge\,f_{xx}\left(0,-\frac{5}{2}\right)<0\quad\Rightarrow\quad\text{maksimum}\\
W(-1,-1)<0\quad\Rightarrow\quad\text{brak}\\
W(3,-1)<0\quad\Rightarrow\quad\text{brak}\\\)