Geometria analityczna

[Krzychu23]

zad. 1. W trójkącie \(ABC\) punkt \(K(-5, 1)\) jest środkiem boku \(AC\), zaś punkt \(L\) - środkiem boku \(BC\). Wiedząc, że \(\vec{AK} = [1, 6]\) oraz \(\vec{KL} = [8, 4]\), wyznacz równania kierunkowe prostych, w których zawierają się boki trójkąta \(ABC\).

[pytajnik++]

poniewaz nie wiemy jak powinien dokladnie wygladac ten trojkat w ukladzie wspolrzednych, przyjmijmy oznaczenia jak na ponizszym rysunku:

1.png (12.52 KiB) Przejrzano 1660 razy

Mamy wiec:

\(\vec{AK}=[x_K-x_A, y_K-y_A]=[-5-x_A,1-y_A]= [1,6]\)

\(A(-6, -5)\)

Dalej,
\(\vec{KL}= \frac{1}{2} \vec{AB}\)
\([8,4]= \frac{1}{2}[x_B+6, y_B+5]\)

\(B(10,3)\)

Obliczmy jeszcze wspolrzedne punktu \(L:\)

\(\vec{KL}=[x_L-x_K, y_L-y_K=[x_L+5,y_L-1]=[8,4]\)

\(L(3,5)\)

Teraz wyznaczamy rownania prostych zawierajacych boki trojkata,

prosta \(AC\)(prosta przechodzi przez punkty \(A\) oraz \(K\), szukamy tej prostej przez podstawianie tych punktow):
\(y=ax+b\)
\(\begin{cases}-5=-6a+b\\1=-5a+b \end{cases}\)
\(\begin{cases}a=6\\b=31 \end{cases}\)

\(y=6x+31\)

prosta \(BC\)(prosta przechodzi przez punkty \(B\) oraz \(L\), szukamy tej prostej przez podstawianie tych punktow):
\(y=ax+b\)
\(\begin{cases}3=10a+b\\5=3a+b \end{cases}\)
\(\begin{cases} a= -\frac{2}{7}\\b= \frac{41}{7} \end{cases}\)
\(y=- \frac{2}{7}x+ \frac{41}{7}\)

prosta \(AB\)(prosta ta przechodzi przez punkty \(A\) oraz \(B\), szukamy tej prostej przez podstawianie tych punktow):
\(y=ax+b\)
\(\begin{cases}-5=-6a+b\\3=10+b \end{cases}\)
\(\begin{cases}a= \frac{1}{2}\\b=-2 \end{cases}\)

\(y= \frac{1}{2}x-2\)

[Galen]

Korzystasz z obliczania współrzędnych wektora.
\(K=(-5;1)\;\;\;\;\;i\;\;\;\; \vec{AK}=[1;6]\)
Oblicz współrzędne punktu A=(x;y)
\(\vec{AK}=[-5-x;1-y]=[1;6]\\1=-5-x\;\;\;i\;\;\;\;6=1-y\\x=-6\;\;\;\;i\;\;\;y=-5\\A=(-6;-5)\)
Punkt K jest środkiem odcinka AC
\(C=(x;y)\;\;\;\;i\;\;\;\;\;A=(-6;-5)\;\;\;\;\;i\;\;\;\;K=(-5;1)
\frac{x-6}{2}=-5\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{y-5}{2}=1\\
x-6=-10\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;\;y-5=2\\x=-4\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=7\\C=(-4;7)\)
Oblicz współrzędne punktu L
\(\vec{KL}=[8;4]=[x+5 ; y-1]\;\;\;tu\;\;\;\;L=(x;y)\\x+5=8\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;\;\;y-1=4\\x=3\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;y=5\\L=(3;5)\)
Punkt L jest środkiem odcinka BC.Masz punkt C=(-4;7),to policz współrzędne punktu B
\(B=(x;y)\\ \frac{-4+x}{2}=3\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{7+y}{2}=5\\x=10\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;y=3\\B=(10;3)\)
Prosta AB:
\(y= \frac{1}{2}x-2\)
Prosta AC:
\(y=6x+31\)
Prosta BC:
\(y=- \frac{2}{7}x+5 \frac{6}{7}\)
Przyjmuję,że napisanie równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty jest dla Ciebie łatwizną.