Prosiłbym o rozwiązanie:
1. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregu \(\sum_{ n=1}^{ \infty }\) \(\frac{1}{n^2+n}\)
Zbieżność szeregu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
Re: Zbieżność szeregu
ciąg o wzorze ogólnym \(a_n=\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\) spełnia założenia kryterium całkowego.
zatem zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) sprawdzimy badając zbieżność całki
\(\int_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right)dx=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx-\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x+1}dx=\left[ \ln|x| -\ln|x+1|\right]^{\infty}_1=\\= \left[ \ln |\frac{x}{x+1}|\right]^{\infty}_1=\lim_{x \to \infty}\ln|\frac{x}{x+1}|-\ln \frac{1}{2} =\ln 1 - \ln 2^{-1}=0+\ln 2 =\ln 2 <\infty\)
ze zbieżności całki wynika zbieżność szeregu.
zatem zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) sprawdzimy badając zbieżność całki
\(\int_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right)dx=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx-\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x+1}dx=\left[ \ln|x| -\ln|x+1|\right]^{\infty}_1=\\= \left[ \ln |\frac{x}{x+1}|\right]^{\infty}_1=\lim_{x \to \infty}\ln|\frac{x}{x+1}|-\ln \frac{1}{2} =\ln 1 - \ln 2^{-1}=0+\ln 2 =\ln 2 <\infty\)
ze zbieżności całki wynika zbieżność szeregu.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)