Zadanie z okręgiem

[WalnietyDesko]

Dane są równania dwóch okręgów \((x-3)^{2}+y^{2}=9\) i \((x+5)^{2}+y^{2}=25\). Znajdź równania prostych stycznych do tych okregów.


Głowie się już trochę i nic, próbowłem ze wzoru na odległość ale są 2 niewiadome, układ równan też nie. Proszę o jakieś wskazówki.

Dodano:
Poprawiłem z 1 nawiasu, tam miało być x-3 a nie x-2.

[Pol]

\(|AB| = 5 \\
|CD| = 3 \\
|AC| = 7\)

uprościłem sobie trochę zadanie, nie wiem czy słusznie, czy też nie, ale uznam to za jeden ze sposobów rozwiązania, mianowicie, narysowałem 2 wspomniane okręgi w układzie współrzędnych oraz narysowałem wykres funkcji, który "mniej więcej" odzwierciedlał styczną do obu okręgów (po to aby móc zbadać zależności)

oczywiste jest również to że okręgi te będą mieć drugą styczną symetryczną do pierwszej względem osi OX, ale uznałem to za oczywiste i nie umieszczałem na rysunku w celu niezaciemniania obrazu

jeśli takie podejście Ci pasuje możesz śmiało czytać dalej

zainteresowało mnie na początek jakie współrzędne ma pkt X jeśli jego wsp. y = 0
z podobieństwa trójkątów można ułożyć następujące równanie:

\(\frac {|CX|} {|CD|} = \frac {|AC|+|CX|} {|AB|}\)

po przekształceniach i obliczeniach mamy:

\(|CX| = \frac {21} 2\)

więc współrzędne pkt. X to \((2 + \frac {21} 2 ; 0) = (\frac {25} 2 ; 0)\)

następnie skorzystałem z zależności że wsp. kierunkowy = tan(alfa)
z trójkąt CXD obliczyłem sin(alfa) oraz korzystając z "1 tryg." cos(alfa)

\(\sin \alpha = \frac {|CD|} {|CX|} = \frac 2 7 \\
\cos \alpha = \sqrt {1 - (\frac 2 7)^2} = \frac {3\sqrt 5} 7 \vee -\frac {3\sqrt 5} 7\)

mamy do czynienia z II ćwiartką więc cosinus < 0

\(a = \tan \alpha = \frac {\sin \alpha} {\cos \alpha} = -\frac {2\sqrt 5} {15}\)

brakuje jeszcze wsp. b, aby go obliczyć wystarczy podstawić wsp. pkt X oraz wartość a

\(0 = -\frac {2\sqrt 5} {15} \cdot \frac {25} 2 + b \\
b = \frac {25\sqrt 5} {15}\)

i mamy dwie proste styczne do obu okręgów

\(f(x) = -\frac {2\sqrt 5} {15} \cdot x + \frac {25\sqrt 5} {15} \\
g(x) = -f(x)\)

[WalnietyDesko]

Jestem pod wiekim wrażeniem Pol, dziękuje Ci z całego serca, ja sie pomyliłem w przepisywaniu zadania i trochę zmeniłem wartości ale liczy się sposób:P A dzięki Tobie te zadanie nie było wcale takie trudne., hehe

[karrol]

dlaczego nie mozna przyjac w tym zadaniu ze np w 1 okregu przecinaja sie z prosta w punkcie P=(5,5)?

[Pol]

prosta ma się przecinać z większym okręgiem z punkcie (5, 5) ? no raczej tego z rysunku nie widać
prędzej (-5, 5), gdyby tak było to prosta musiałaby być równoległa do OX i wtedy nie byłaby styczna z mniejszym okręgiem

kąt ABC jest kątem prostym i okrąg większy ma tylko 1 punkt wspólny z prostą

aha i ja rozwiązywałem to zadanie dla (x-2) nie (x-3) ale tym sposobem mozna rowniez ten drugi przypadek rozwiazac