Okrąg

[kanapa21]

Oblicz pole części koła, ograniczonej prostą o równaniu \(y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\), obrazem tej prostej względem osi OY i tą częścią okręgu \(x^{2}+y^{2}=12\), która leży ponad osią OX

[irena]

Myślałam, że ktoś pomoże i narysuje Ci rysunek. Mam nadzieję, że rysunek zrobisz, jeśli trochę go opiszę.
Narysuj okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) (około 3,5- nie musi byś dokładnie, bo rysunek jest tu pomocniczy).

Prosta \(y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\) i prosta do niej symetryczna \(y=-\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\) przecinają się na osi OY w punkcie \(C=(0,\ -2\sqrt{3})\), więc i na okręgu.

Punkty przecięcia tych prostych z osią OX:
\(\sqrt{3}x-2\sqrt{3}=0 \Leftrightarrow x=2\\-\sqrt{3}x-2\sqrt{3}=0 \Leftrightarrow x=-2\\D=(-2,\ 0)\ \ E=(2,\ 0)\)

Punkty przecięcia tych prostych z okręgiem:
\(\begin{cases}y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\\x^2+(\sqrt{3}x-2\sqrt{3})^2=12 \end{cases} \\x^2+3x^2-12x+12=12\\4x^2-12x=0\\4x(x-3)=0 \Leftrightarrow \begin{cases}x=0\\y=-2\sqrt{3} \end{cases} \ \vee \begin{cases} x=3\\y=\sqrt{3} \end{cases}\\B=(3,\ \sqrt{3})\)

\(\begin{cases}y=-\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\\x^2+(-\sqrt{3}x-2\sqrt{3})^2=12 \end{cases} \\x^2+3x^2+12x+12=12\\4x^2+12x=0\\4x(x+3)=0 \Leftrightarrow \begin{cases}x=0\\y=-2\sqrt{3} \end{cases} \ \vee \ \begin{cases}x=-3\\y=\sqrt{3} \end{cases} \\A=(-3,\ \sqrt{3})\)

Trójkąt ABC jest równoramienny, wpisany w dany okrąg. Ponieważ proste AC i BC są symetryczne wzgledem osi OY, więc |AC|=|BC|.
Obliczam długości boków trójkąta ABC:
\(|AB|=\sqrt{(3-(-3))^2+(\sqrt{3}-\sqrt{3})^2}=6\)

\(|BC|=\sqrt{(0-3)^2+(-2\sqrt{3}-\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6\)

Trójkąt ABC jest więc równoboczny, czyli kąt wpisany \(| \angle ACB|=60^o\). Kąt AOB jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku, więc \(| \angle AOB|=120^o\).

Zakreśl teraz figurę, której pole mamy obliczyć. składa się ona z wycinka koła AOB o kącie środkowym \(120^o\), czyli jest to \(\frac{1}{3}\) koła o promieniu \(2\sqrt{3}\).
Poza tym są tu 2 trójkąty: ACO i OCB- przystające, o podstawach długości \(|OC|=2\sqrt{3}\) i wysokości równej \(\frac{1}{2}|AB|=3\)

Pole wycinka:
\(\frac{1}{3}\pi\cdot(2\sqrt{3})^2=\frac{1}{3}\cdot12\pi=4\pi\)

Pola trójkątów:
\(2\cdot\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot3=6\sqrt{3}\)

Pole figury:
\(P=4\pi+6\sqrt{3}\)

[trzewior]

Przepraszam ze odswiezam ale mam kilka watpliwosci gdyz wlasnie robie to zadanie:
1)Czy ta figura to nie jest suma pol trapezu równoramiennego i wycinka kołowego ?
2)Prawidłowa odpowiedź to \(4 \pi +6 \sqrt{3}\)

[irena]

Nie, pomyliłam tylko podstawę i wysokość trójkąta, zaraz poprawię

[trzewior]

zrobiłem dokładnie ten sam rysunek:
http://i39.tinypic.com/2cycm0.png
Co jest w nim zle ?

[irena]

Pole szukane to pole ograniczone łukiem CD i dolnym punktem na osi OY- punktem przecięcia tych prostych
A Twoje punkty C, D to moje A , B

[trzewior]

ale przeciez mamy miec ta czesc okregu ktora lezy ponad osia OX a punkt przeciecia prostych lezy pod osia OX

[irena]

Nie, chodzi o część łuku okręgu leżącą nad osią- to łuk ma leżeć nad osią, a nie cała figura

[irena]

Ta figura może być opisana jako trójkąt równoramienny i odcinek koła ograniczony łukiem CD

[irena]

Rysunek świetny. Zamalować trzeba tylko całą figurę - od łuku CD to punktu przecięcia się prostych

[trzewior]

czyli pole figury to pole wycinka + 2 pola trójkątów rozwartokątnych ?

[irena]

Tak. Ja tak liczyłam

[trzewior]

tak abstrahujac to to o czym mowilem na poczatku to musialbym miec podane ze jest to czesc kola lezacego ponad osia OX ?

[anka]

1.png (19.09 KiB) Przejrzano 3142 razy

[lestommy]

nie rozumiem, w odpowiedzi jest ze pole szukanego wycinka to \(4 \pi +6 \sqrt{3}\) a przeciez pole trojkata \(OBC=OAD= \sqrt{3}\), bo \(\left| OB\right|=\left| BC\right|=2 \\\)
a kąt \(OBC = 120\) stopni
wiec pole takiego trojkata to \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot sin120= \sqrt{3} \\\)

wiec odpowiedz nie powinna byc \(4 \pi +2 \sqrt{3}\) ?

oznaczenia jak w tym rysunku
http://i39.tinypic.com/2cycm0.png