Prostokąt i trójkąty równoboczne na bokach

[Januszgolenia]

Geometria Testy maturalne Aksjomat Zestaw XVII/9

Na bokach AB i BC prostokąta ABC zbudowano na zewnątrz trójkąty równoboczne ABE i BCF. Wiedząc, że IABI=6 i IBCI= 2 pierwiastki z 3 oblicz:
a) pole pięciokąta AEFCD.
b)sin kątaBEF

[irena]

a)
Opisany pięciokąt "składa się" z prostokąta ABCD, trójkątów równobocznych AEB i BFC oraz trójkąta BEF.
\(P_{ABCD}=6\cdot2\sqrt{3}=12\sqrt{3}\\P_{ABE}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\\P_{BFC}=\frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}\)

Żeby obliczyć pole trójkata BEF, obliczę miarę kąta wewnętrznego FBE:
\(| \angle FBE|=360^o-(90^0+2\cdot60^0)=150^o\)

\(sin150^0=sin(180^0-30^0)=sin30^0=\frac{1}{2}\)

\(P_{BEF}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2\sqrt{3}sin150^o=6\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=3\sqrt{3}\)

\(P_{AEFCD}=12\sqrt{3}+9\sqrt{3}+3\sqrt{3}+3\sqrt{3}=27\sqrt{3}\)

b)
\(cos150^0=cos(180^0-30^o)=-cos30^0=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie BEF:
\(|EF|^2=|EB|^2+|BF|^2-2|BE|\cdot|BF|cos150^o\\|EF|^2=6^2+(2\sqrt{3})^2-2\cdot6\cdot2\sqrt{3}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})\\|EF|^2=84\\|EF|=2\sqrt{21}\)

z twierdzenia sinusów:
\(\frac{|EF|}{sin150^o}=\frac{|BF|}{sin\alpha}\\\frac{2\sqrt{21}}{\frac{1}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{sin\alpha}\\sin\alpha=\frac{1}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{14}\)

[Januszgolenia]

Serdecznie dziękuję

[unknown1]

a)
z twierdzenia sinusów:
\(\frac{|EF|}{sin150^o}=\frac{|BF|}{sin\alpha}\\\frac{2\sqrt{21}}{\frac{1}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{sin\alpha}\\sin\alpha=\frac{1}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{14}\)

Ja mam też inny wynik, ale wydaje mi się, że oba są poprawne. U mnie odcinek \({|BF|}\) ma długość 6 i wtedy \({sin\alpha}= \frac{ \sqrt{14} }{21}\)