Policz asymptoty

[bobobob]

\(f \left(x \right) = \frac{ \sqrt{x^4 - 1} }{x - 1}\) W pionowej de l'hospital ? w ukośnej mnożenie przez sprzężenie w 2 warunku?

[radagast]

De l'Hospitala bym w to raczej nie mieszała.
Pionowa:
\(\Lim_{x\to 1^+ } f \left(x \right) = \Lim_{x\to 1^+ } \frac{ \sqrt {x^4 - 1} }{x - 1}=\Lim_{x\to 1^+ } \frac{ \sqrt { \left(x - 1 \right) \left(x + 1 \right) \left(x^2 + 1 \right) } }{ \sqrt{ \left(x - 1 \right) ^2}}=\\
\Lim_{x\to 1 } \frac{ \sqrt { \left(x + 1 \right) \left(x^2 + 1 \right) } }{ \sqrt{|x - 1|} }= \frac{2}{0}= \infty\) asymptota pionowa prawostronna x=1.

\(\Lim_{x\to -1^-} f \left(x \right) = \Lim_{x\to -1^- } \frac{ \sqrt {x^4 - 1} }{x - 1}=\Lim_{x\to -1^- } \frac{ \sqrt { \left(x - 1 \right) \left(x + 1 \right) \left(x^2 + 1 \right) } }{ -\sqrt{ \left(x - 1 \right) ^2} }=\\
\Lim_{x\to - 1^- } \frac{ \sqrt { \left(x + 1 \right) \left(x^2 + 1 \right) } }{- \sqrt{|x - 1|} }=\frac{0}{2}=0\) prosta x=-1 nie jest asymptotą.


Należy jeszcze zbadać ukośne.

[radagast]

Ukośna:
prawostronna:
\(a=\Lim_{x\to \infty } \frac{f \left(x \right) }{x} =\Lim_{x\to \infty } \frac{ \frac{ \sqrt {x^4 - 1} }{x - 1} }{x}=\\
\Lim_{x\to \infty } \frac{ \sqrt {(x - 1)(x+1)(x^2+1)}}{x( x - 1)} =\Lim_{x\to \infty } \frac{ \sqrt {(x+1)(x^2+1)}}{ x\sqrt{x-1} } =\\
\Lim_{x\to \infty } \frac{ \sqrt {x^2+1}}{ x} \cdot \frac{ \sqrt {x+1}}{ \sqrt{x-1} } =1 \cdot 1=1\)

\(b=\Lim_{x\to \infty } f(x)-ax=\Lim_{x\to \infty } \frac { \sqrt {x^4 - 1} }{x - 1}-x=\Lim_{x\to \infty } \frac { \sqrt {x^4 - 1}-x(x-1) }{x - 1}=\\
\Lim_{x\to \infty } \frac { \sqrt {x^2 - \frac{1}{x^2} }-(x-1) }{1 - \frac{1}{x} }=\Lim_{x\to \infty } \frac { \left(\sqrt {x^2 - \frac{1}{x^2} }-(x-1) \right) \left(\sqrt {x^2 - \frac{1}{x^2} }+(x-1) \right) }{(1 - \frac{1}{x}) \left(\sqrt {x^2 - \frac{1}{x^2} }+(x-1) \right) }=\\
\Lim_{x\to \infty } \frac { x^2 - \frac{1}{x^2} -(x-1)^2 }{(1 - \frac{1}{x}) \left(\sqrt {x^2 - \frac{1}{x^2} }+(x-1) \right) }=\Lim_{x\to \infty } \frac { - \frac{1}{x^2} +2x-1 }{(1 - \frac{1}{x}) \left(\sqrt {x^2 - \frac{1}{x^2} }+(x-1) \right) }=\\
\Lim_{x\to \infty } \frac { - \frac{1}{x^3} +2- \frac{1}{x} }{(1 - \frac{1}{x}) \left(\sqrt {1 - \frac{1}{x^4} }+(1- \frac{1}{x} ) \right) }= \frac{2}{1(1+1)}=1\)
prosta \(y=ax+b\) czyli \(y=x+1\) jest asymptotą ukośną prawostronną.
Lewostronna identycznie.

[radagast]

Na potwierdzenie poprawności obrazek:

ScreenHunter_754.jpg (29.87 KiB) Przejrzano 323 razy