Całki nieoznaczone

[anka]

Zadanie 5.
Oblicz całki nieoznaczone:
a) \(\int_{}^{} sin2x\cdot e^{sin x}dx\)
b) \(\int_{}^{} e^{4x}cos 2x dx\)
c) \(\int_{}^{} (4x+2)sin x cos x dx\)
d) \(\int_{}^{} \frac{4x-5}{2x^2+3x+1}dx\)
e) \(\int_{}^{}\frac{4x+2}{x^2+4x+5}dx\)
f) \(\int_{}^{}sin 3x cos 6x dx\)
g) \(\int_{}^{} \frac{e^x}{e^{2x}+4}dx\)
h) \(\int_{}^{} \frac{ln(lnx)}{x}dx\)

Za podpowiedzi dziękuję, potrzebne mi są tzw gotowce

[patryk00714]

h) \(\int_{}^{} \frac{ln(lnx)}{x}dx= \begin{vmatrix}lnx=t \\dt=\frac{dx}{x} \end{vmatrix}= \int_{}^{} lntdt= \int_{}^{} t'lntdt=tlnt-t=ln(lnx)-lnx+C\)

[patryk00714]

g) \(\int_{}^{} \frac{e^xdx}{e^{2x}+4}= \begin{vmatrix} e^x=t \\ dt=e^xdx\end{vmatrix}= \int_{}^{} \frac{dt}{t^2+4}= \int_{}^{} \frac{dt}{4( \left( \frac{t}{2} \right)^2+1) }dt=\frac{1}{4}arctg{\frac{t}{2}}=\frac{1}{2}arctg{\frac{e^x}{2}}+C\)

[patryk00714]

f) \(\int_{}^{} sin3x \cdot cos6xdx= \int_{}^{} sin3x \cdot \left(cos^23x-sin^23x \right)dx= \int_{}^{} sin3x(cos^23x-(1-cos^23x))dx= \\ =\begin{vmatrix}t=cos3x \\ dt=-3sin3xdx \\ -\frac{1}{3}dt=sin3xdx \end{vmatrix}=-\frac{1}{3} \int_{}^{} (2t^2-1)dt[=-\frac{1}{3} \left[\frac{2}{3}t^3-t \right]=-\frac{1}{3} \left[\frac{2}{3}cos^33x-cos3x \right]+C\)

[patryk00714]

e)

\(\int_{}^{} \frac{4x-5}{x^2+4x+5}dx= \int_{}^{} \frac{2(2x+4)-13}{x^2+4x+5}dx= \int_{}^{} \frac{2(2x+4)}{x^2+4x+5}dx- \int_{}^{} \frac{13}{(x+2)^2+1}dx =\\=2ln|x^2+4x+5|-13arctg( x+2)+C\)

[patryk00714]

d)

\(\int_{}^{} \frac{4x-5}{2x^2+3x+1}dx= \int_{}^{} \left( \frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x+1} \right)\)

mamy \(\frac{4x-5}{2x^2+3x+1} \equiv \frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x+1}\)

\(4x-5=A(2x+1)+B(x+1)\)

stąd \(4x-5=x(2A+B)+A+B\)

czyli \(\begin{cases}2A+B=4 \\ A+B=-5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=9 \\ y=-14\end{cases}\)

stąd

\(\int_{}^{} \frac{4x-5}{2x^2+3x+1}dx= \int_{}^{} \left( \frac{9}{x+1}-\frac{14}{2x+1} \right)=9ln|x+1|-7ln|2x+1|+C\)

[patryk00714]

c) \(\int_{}^{} (4x+2)sinxcosxdx= \int_{}^{} (2x+1)sin2xdx= \int_{}^{} 2xsin2xdx+ \int_{}^{} sin2xdx=(*)\)


\(\int_{}^{} sin2xdx=-\frac{1}{2}cos2x+C\)

gorzej z tą pierwszą:

\(\int_{}^{} 2xsin2xdx= \int_{}^{} 2x(-\frac{1}{2}cos2x)'dx=-xcos2x+\int_{}^{}cos2xdx=-xcos2x+\frac{1}{2}sin2x+C\)

zatem \((*)=-xcos2x+\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+C\)

[patryk00714]

b) \(\int_{}^{} e^{4x}cos2xdx= \int_{}^{} e^{4x}(\frac{1}{2}sin2x)'dx=\frac{1}{2}e^{4x}sin2x- 2\int_{}^{}e^{4x}sin2xdx= \\ =\frac{1}{2}e^{4x}sin2x-2 \int_{}^{} e^{4x}(-\frac{1}{2}cos2x)'dx=\frac{1}{2}e^{4x}sin2x-2 \left(-\frac{1}{2}e^{4x}cos2x+2 \int_{}^{} e^{4x}cos2xdx \right)=\\=\frac{1}{2}e^{4x}sin2x+e^{4x}cos2x-4 \int_{}^{} e^{4x}cos2xdx\)

zatem \(5 \int_{}^{} e^{4x}cos2xdx=\frac{1}{2}e^{4x}sin2x+e^{4x}cos2x\)

stąd \(\int_{}^{} e^{4x}cos2x=\frac{1}{10}e^{4x} \left(sin2x+2cos2x \right)+C\)

[patryk00714]

a) \(\int_{}^{} sin2xe^{sinx}dx= \int_{}^{} 2sinxcosxe^{sinx}dx= \begin{vmatrix} t=sinx \\dt=cosxdx\end{vmatrix} = \\=\int_{}^{} 2te^tdt=2 \int_{}^{} te^tdt=2 \int_{}^{} t(e^t)'dt=2 \left(te^t-e^t \right)=2e^t(t-1)=2e^{sinx}(sinx-1)+C\)

[anka]

c) \(\int_{}^{} (4x+2)sinxcosxdx= \int_{}^{} (2x+1)sin2xdx= \int_{}^{} 2xsin2xdx+ \int_{}^{} sin2xdx=(*)\)


\(\int_{}^{} sin2xdx=-\frac{1}{2}cos2x+C\)

gorzej z tą pierwszą:

\(\int_{}^{} 2xsin2xdx= \int_{}^{} 2x(-\frac{1}{2}cos2x)'dx=-xcos2x+\int_{}^{}cos2xdx=-xcos2x+\frac{1}{2}sin2x+C\)

zatem \((*)=-xcos2x+\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+C\)

Dodałabym jeszcze:

\(=\frac{1}{2}sin2x-cox2x(x+\frac{1}{2}) +C\)

[anka]

f) gdzieś jest bląd

[patryk00714]

wynik jest na 100% dobry. Masz inną postać tego rozwiązania.

[patryk00714]

rozwiązanie moje:

Przechwytywanie.PNG (15.19 KiB) Przejrzano 462 razy

rozwiazanie wolframu:

Przechwytywanie2.PNG (18.67 KiB) Przejrzano 462 razy

[anka]

Ok, dzięki.