Rozwiąż równanie przez obniżenie jego rzędu:
\(x``+\frac{2}{t}x`+x=\frac{1}{t}\) wiedząc, że jego całka szczególna wynosi f(t)=\(\frac{sint}{t}\).
Wiem jak rozwiązać równanie jednorodne II rzędu metodą Liovville`a, ale jak rozwiązać niejednorodne? Jak uzmiennię stalą to gdzie mam to potem wstawić, aby obliczyć całkę szczególną niejednorodnego? I jeszcze taka wątpliwość, jak korzystam ze wzoru Liovilla pojawią mi się dwie stałe prawda?
Obniżanie rzędu równania niejednorodnego II rzędu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
niekminiacz
- Dopiero zaczynam
- Posty: 22
- Rejestracja: 24 lis 2012, 17:57
- Podziękowania: 3 razy
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
\(f_2(t)=f_1(t)\int z\,dt
x=\frac{\sin t}{t}\int z\,dt
x''+\frac{2}{t}x'+x=\frac{1}{t}
\frac{2\sin t-2t\cos t-t^2\sin t}{t^3}\int z\,dt+\frac{2t\cos t-2\sin t}{t^2}z+\frac{\sin t}{t}z'+\frac{2t\cos t-2\sin t}{t^3}\int z\,dt+\frac{2\sin t}{t^2}z+\frac{\sin t}{t}\int z\,dt=\frac{1}{t}
\frac{\sin t}{t}z'+\frac{2\cos t}{t}z=\frac{1}{t}\)
i po wyliczeniu \(z\) dostaniemy drugie rozwiązanie \(f_2(t)\)
x=\frac{\sin t}{t}\int z\,dt
x''+\frac{2}{t}x'+x=\frac{1}{t}
\frac{2\sin t-2t\cos t-t^2\sin t}{t^3}\int z\,dt+\frac{2t\cos t-2\sin t}{t^2}z+\frac{\sin t}{t}z'+\frac{2t\cos t-2\sin t}{t^3}\int z\,dt+\frac{2\sin t}{t^2}z+\frac{\sin t}{t}\int z\,dt=\frac{1}{t}
\frac{\sin t}{t}z'+\frac{2\cos t}{t}z=\frac{1}{t}\)
i po wyliczeniu \(z\) dostaniemy drugie rozwiązanie \(f_2(t)\)