Kombinatoryka -rożne zadania

[ziomekla]

zad. 1
Cyfry 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ustawiamy w sposób losowy w szeregu ile jest takich ustawień, że:
a) cyfra 7 stoi na początku i na końcu
b) para cyfr 6 i 7 (dowolna kolejność) stoi na początku lub na końcu szeregu
c) pomiędzy cyframi 4 i 5 stoją tylko dwie liczby?

zad. 2
Ze zbioru -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Oznaczamy te liczby (kolejność losowania) x oraz y, a następnie zaznaczamy na płaszczyźnie punkt P(x,y)
a) ile punktów możemy otrzymać w ten sposób?
b) ile możemy w ten sposób otrzymać punktów leżących na osiach układu współrzędnych?
c) ile możemy w ten sposób otrzymać punktów nie leżących na osiach układu i leżących w II ćwiartce ukł. współrzędnych?
d) Ile możemy otrzymać punktów leżących ponad prostą o równaniu y=x ?

3zad
Na ile sposobów można wylosować z talii kart cztery karty,tak aby:
wszystkie były tego samego koloru??



pomożcie :D jak ktos moze to tylko zapisy w kombinatoryce a ja dalej policze:)

[irena]

1.
a) Cyfra 7 stoi na początku - 6!, cyfra 7 stoi na końcu - 6! Na początku lub na końcu - 2*6!.

Jeśli ustawiamy cyfry w szeregu, to cyfra 7 nie może stać na początku i jednocześnie na końcu (bo jest tylko jedna).

b)
Ustawiamy cyfry 6, 7 na początku - 2 możliwości (67 lub 76), pozostałe cyfry w szeregu na pozostałych pięciu miejscach - 5! możliwości.
Podobnie jest, gdy cyfry 6, 7 ustawimy na końcu.
Razem możliwości jest 2*2*5!

c)
Cyfry 4 i 5 mogą stać na miejscach 1 i 4, 2 i 5, 3 i 6 lub 4 i 7 - jest tu 4 możliwości wyboru miejsc. Możliwości takich ustawień jest 4*2 (kolejność tych cyfr). Pozostałe cyfry ustawiamy na pozostałych pięciu miejscach - na 5! sposobów.

Razem jest tych możliwości 4*2*5!.

2.
a)
10*9=90

b)
Są to punkty (0; y) lub (x; 0). Możliwości jest tu 2*9=18

c)
Są to punkty (x; y), gdzie x=0 i y>0 (7 możliwości) lub y=0 i x<0 (2 możliwości. Razem 7+2=9 możliwości.

d)
Są to punkty (x; y), dla których y>x. Takich możliwości jest 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45

[ziomekla]

dziękuje bardzo

[SztucznyMrok]

Zadanie nr 3: Na ile sposobów można wylosować z talii kart cztery karty,tak aby:
wszystkie były tego samego koloru?

więc tak. Mamy cztery możliwości koloru: pik, kier, trefl i karo (opcjonalnie: wino, czerwo, żołędź, dzwonka)

chcemy mieć opcję tylko dla jednego koloru - jeden kolor = 13 kart (52 wszystkich kart / 4 kolory = 13 kart dla jednego koloru)

\({4 \choose 1}\) - wybór jednego koloru
\({13 \choose 4}\) - wybór czterech kart z trzynastu

i mnożymy:

\({4 \choose 1} \cdot {13 \choose 4} = 4 \cdot 715 = 2860\)

do tego zadania są również inne podpunkty:

b) wśród nich były dwie karty w jednym kolorze i dwie karty w innym kolorze ;
c) wśród nich były co najmniej dwie karty tego samego koloru ?

Ad. b) \({4 \choose 2}\) - wybór dwóch dowolnych kolorów
\({13 \choose 2}\) - wybór dwóch kart pierwszego koloru
\({13 \choose 2}\) - wybór dwóch kart drugiego koloru

i mnożenie: \({4 \choose 2} \cdot {13 \choose 2} \cdot {13 \choose 2} = 6\cdot 78\cdot 78 = 36504\)

Ad. c)
\({4 \choose 1}\) - wybór tego jednego koloru
\({13 \choose 2}\cdot {39 \choose 2}\) - dwie karty jednego koloru i dwie karty innego koloru
\({13 \choose 3} \cdot {39 \choose 1}\) - trzy karty jednego koloru i jedna karta innego koloru
\({13 \choose 4}\) - cztery karty jednego koloru

i mnożenie: \({4 \choose 1}\cdot [{13 \choose 2}\cdot {39 \choose 2} + {13 \choose 3} \cdot {39 \choose 1} + {13 \choose 4} ] = 4 \cdot [78 \cdot 741 + 286\cdot 39 + 715] = 4 \cdot [57798 + 11154 + 715] = 278668\)