Dane jest równanie drugiego stopnia z parametrem m: x^2+y^2 -2mx +2y+m+1=0.
a) Jaką figurę geometryczną opisuje to równanie w przypadku gdy m=1?
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie opisuje okrąg. Następnie wybierz liczbę m, dla której prosta k:3x+4y+1=0 jest styczna do tego okręgu.
Równanie drugiego stopnia z parametrem m
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
a)
Jeśli m=1, to równanie :
\(x^2+y^2-2x+2y+2=0\\(x-1)^2-1+(y+1)^2-1+2=0\\(x-1)^2+(y+1)^2=0\)
jest spełnione tylko przez parę liczb (1; -1). Opisuje więc punkt (1; -1).
b)
\(x^2+y^2-2mx+2y+m+1=0\\(x-m)^2-m^2+(y+1)^2-1+m+1=0\\(x-m)^2+(y+1)^2=m^2-m\)
Równanie to opisuje okrąg, jeśli
\(m^2-m>0\\m(m-1)>0\\m\in(-\infty;0)\cup(1;\infty)\)
Prosta 3x+4y+1=0 jest styczna do tego okręgu, jeśli jej odległość od środka okręgu jest równa promieniowi.
Promień tego okręgu wynosi \(\sqrt{m^2-m}\). Środek okręgu to punkt (m; -1).
\(\frac{|3m-4+1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\sqrt{m^2-m}\\\frac{|3m-3|}{5}=\sqrt{m^2-m}\\(3m-3)^2=25(m^2-m)\\16m^2-7m-9=0\\\Delta=625\\\sqrt{\Delta}=25\\m_1=-\frac{9}{16}\vee\ m_2=1 \notin D\\m=-\frac{9}{16}\)
Jeśli m=1, to równanie :
\(x^2+y^2-2x+2y+2=0\\(x-1)^2-1+(y+1)^2-1+2=0\\(x-1)^2+(y+1)^2=0\)
jest spełnione tylko przez parę liczb (1; -1). Opisuje więc punkt (1; -1).
b)
\(x^2+y^2-2mx+2y+m+1=0\\(x-m)^2-m^2+(y+1)^2-1+m+1=0\\(x-m)^2+(y+1)^2=m^2-m\)
Równanie to opisuje okrąg, jeśli
\(m^2-m>0\\m(m-1)>0\\m\in(-\infty;0)\cup(1;\infty)\)
Prosta 3x+4y+1=0 jest styczna do tego okręgu, jeśli jej odległość od środka okręgu jest równa promieniowi.
Promień tego okręgu wynosi \(\sqrt{m^2-m}\). Środek okręgu to punkt (m; -1).
\(\frac{|3m-4+1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\sqrt{m^2-m}\\\frac{|3m-3|}{5}=\sqrt{m^2-m}\\(3m-3)^2=25(m^2-m)\\16m^2-7m-9=0\\\Delta=625\\\sqrt{\Delta}=25\\m_1=-\frac{9}{16}\vee\ m_2=1 \notin D\\m=-\frac{9}{16}\)
Ostatnio zmieniony 18 kwie 2010, 13:57 przez irena, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 94
- Rejestracja: 05 kwie 2009, 14:36
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 1 raz