W trójkącie ABC ze środka każdego boku prowadzimy odcinki prostopadłe do dwóch boków. Wykaż że:
a) Odcinki te przecinają się parami na wysokościach trójkąta ABC
b) Odcinki poprowadzone do tego samego boku mają równe długości i długość każdego z nich równa się połowie długości odpowiedniej wysokości trójkąta
zadanie z trójkątem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Najlepiej to widać na rysunku.
Środki boków trójkąta nazwijmy odpowiednio: środek AB- literą K, środek BC - literą L, środek AC- literą M. Wysokość trójkąta ABC, poprowadzoną na bok AB z punktu C - to odcinek CD. Punkt przecięcia odcinka ML i wysokości CD - punktem E.
Weźmy trójkąt CLM. Odcinek ML jest równoległy do boku AB (twierdzenie odwrotne do tw. Talesa - punkty M, L są środkami boków BC i AC, odcinek ML łączy więc środki boków trójkąta).
a)
Odcinki prostopadłe poprowadzone z punktów M i L oraz część wysokości poprowadzonej z punktu C są wysokościami w trójkącie MCL, więc przecinają się w jednym punkcie. Stąd - para odcinków prostopadłych poprowadzonych ze środków boków przecinają się na wysokości trójkąta ABC.
Analogicznie - w trójkątach BLK i AKM.
b)
Z twierdzenia Talesa (ML jest równoległe do AB) wynika,że odcinek ML jest połową odcinka AB. Odcinek ML dzieli również na połowy wysokość trójkąta ABC. Czyli odcinek CE jest równy odcinkowi ED. Czworokąt BLMA jest trapezem, odcinki prostopadłe poprowadzone z punktów L i M oraz odcinek ED są jego wysokościami, są więc równe i mają długość równą połowie wysokości trójkąta ABC.
Środki boków trójkąta nazwijmy odpowiednio: środek AB- literą K, środek BC - literą L, środek AC- literą M. Wysokość trójkąta ABC, poprowadzoną na bok AB z punktu C - to odcinek CD. Punkt przecięcia odcinka ML i wysokości CD - punktem E.
Weźmy trójkąt CLM. Odcinek ML jest równoległy do boku AB (twierdzenie odwrotne do tw. Talesa - punkty M, L są środkami boków BC i AC, odcinek ML łączy więc środki boków trójkąta).
a)
Odcinki prostopadłe poprowadzone z punktów M i L oraz część wysokości poprowadzonej z punktu C są wysokościami w trójkącie MCL, więc przecinają się w jednym punkcie. Stąd - para odcinków prostopadłych poprowadzonych ze środków boków przecinają się na wysokości trójkąta ABC.
Analogicznie - w trójkątach BLK i AKM.
b)
Z twierdzenia Talesa (ML jest równoległe do AB) wynika,że odcinek ML jest połową odcinka AB. Odcinek ML dzieli również na połowy wysokość trójkąta ABC. Czyli odcinek CE jest równy odcinkowi ED. Czworokąt BLMA jest trapezem, odcinki prostopadłe poprowadzone z punktów L i M oraz odcinek ED są jego wysokościami, są więc równe i mają długość równą połowie wysokości trójkąta ABC.