metoda szeregów potęgowych rozwiązywania równań różniczkowyc

[justys212]

mogłby ktoś z Was rozwiązać mi równanie różniczkowe metoda szeregów potęgowych, z wyznaczonymi rozwiązaniami?

y''(x)+(1/x)y'(x)+y(x)=0

[janekk]

http://home.agh.edu.pl/~synowiec/rr-z9.pdf

[justys212]

a czy potrafi ktos rozwiazac konkretnie ten przyklad?

[patryk00714]

\(y= \sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n\)

\(y'= \sum_{ n=1 }^{\infty}na_nx^{n-1}\)

\(y''= \sum_{ n=2 }^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}\)

\(y''+ \frac{1}{x}y'+y=0\)

\(\sum_{ n=2 }^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}+ \frac{1}{x} \sum_{ n=1}^{\infty }na_nx^{n-1}+ \sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n=0\)

\(\sum_{ n=2 }^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}+ \sum_{ n=1}^{\infty }na_nx^{n-2}+\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n=0=0\)

\(\sum_{n=0}^{ \infty }(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n+ \sum_{n=0}^{ \infty }(n+1)a_{n+1}x^{n-1}+ \sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n=0\)

\(\sum_{n=0}^{ \infty }[(n+2)(n+1)a_{n+2}x+(n+1)a_{n+1}+a_nx]x^{n-1}=0\)

\([(n+2)(n+1)a_{n+2}x+(n+1)a_{n+1}+a_nx]=0\)


\(a_{n+2}= \frac{-(n+1)a_{n+1}-a_nx}{(n+2)(n+1)x}\)


P.S Proszę o weryfikację w wypadku jakiejś pomyłki

[justys212]

super a mógłbyś je rozwiązać do końca bo to tylko wzrór rekurencyjny. przyjmując warunki a0=1,a1=0? i wyznaczyc rozwiązanie ogolne i sczególne?

[octahedron]

Współczynniki \(a_n\) nie zależą od \(x\), więc nie może go być we wzorze. Poza tym pojawi się wyraz \(a_1x^{-1}\), a formalnie w szeregach potęgowych czegoś takiego nie ma, można więc wymnożyć przez \(x\):

\(\quad\vdots
\sum_{ n=2 }^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}+ \sum_{ n=1}^{\infty }na_nx^{n-2}+\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n=0
\sum_{ n=2 }^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-1}+ \sum_{ n=1}^{\infty }na_nx^{n-1}+\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^{n+1}=0
\sum_{ n=2 }^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-1}+ \sum_{ n=2}^{\infty }na_nx^{n-1}+a_1+\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^{n+1}=0
\sum_{ n=0 }^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n+1}+ \sum_{ n=0}^{\infty }(n+2)a_{n+2}x^{n+1}+\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^{n+1}+a_1=0
\sum_{ n=0 }^{\infty}\[(n+2)^2a_{n+2}+a_n\]x^{n+1}+a_1=0
\{a_1=0\\a_{n+2}=-\frac{a_n}{(n+2)^2}\.\)

[patryk00714]

a dlaczego dodajemy dodatkowo \(a_1\)?

Dzięki za poprawkę

[justys212]

SUper wszytsko ale to nie jest rozwiązanie a ja potzrebuje rozwiązania:(

[octahedron]

@patryk00714, nic nie dodajemy, zabieramy to \(a_1\) z środkowego szeregu, zauważ, że indeks dolny jest teraz od \(n=2\)
@justys212, można jeszcze rozwiązać tą rekurencję, ale to dużo nie da, i tak trzeba wyznaczać po kolei wyrazy szeregu.

[patryk00714]

ok rozumiem Dzięki za szybką odpowiedź