Cześć,
jako że jest sesja otrzymałem takie oto 3 zadania do rozwiązania. Czy ma ktoś jakiś pomysł jak to ugryźć? Czy mógłby ktoś pomóc? Bardzo Was proszę. Dla osoby z Bdg ewentualnie przewidziana nagroda .
Dziękuje!
Zadanie 1
Niech \(X=Y=\left\{-1,0,1,3\right\}\) oraz \(\mathcal{T}(X) =\left\{\emptyset, \left\{-1,1\right\}, \left\{0,3\right\}, \left\{3\right\}, \left\{-1, 1, 3\right\}, \left\{-1,0,1,3\right\}\right\}\)
\(\mathcal{T}(Y)=\left\{\emptyset, \left\{1\right\},\left\{0,3\right\},\left\{ -1,0,1,3\right\}\right\}\)
czy funkcja \(f:\ X\to Y\) określona wzorem \(f(x)= (-1)^x\) jest ciągła
oraz czy ciągła jest funkcja \(f^{-1}\) jest ciągła.
Zadanie 2.
wyznacz wnętrze i brzeg prostej o równaniu \(1+y=2x\) na płaszczyźnie z metryką kolejową
Zadanie 3.
Niech \(X= \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\)
Rozważmy funkcję \(\rho\) określoną następująco:
\(\rho(f,g)=\max\left\{|f(x) \cdot g(x)|:\ x\in\mathbb{R}\right\}\)
czy \(\rho\) jest metryką w \(X\).
Topologia-ciągłość i metryka.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Witam na forum
- Posty: 4
- Rejestracja: 25 cze 2012, 17:56
- Podziękowania: 4 razy
- Płeć:
Topologia-ciągłość i metryka.
Ostatnio zmieniony 31 paź 2013, 18:54 przez Wojtek1990, łącznie zmieniany 5 razy.
Powód: Brak użycia Latex-a. Proszę się zapoznać z instrukcją http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=21&t=12615
Powód: Brak użycia Latex-a. Proszę się zapoznać z instrukcją http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=21&t=12615
-
- Fachowiec
- Posty: 1070
- Rejestracja: 07 maja 2010, 12:48
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 357 razy
Re: Topologia-ciągłość i metryka.
Czy w 1 to miała być taka funkcja jak widać, czy może \((-1)^x\)?
Korki z matmy, rozwiązywanie zadań
info na priv
info na priv
-
- Fachowiec
- Posty: 1070
- Rejestracja: 07 maja 2010, 12:48
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 357 razy
Re: Topologia-ciągłość i metryka.
2. Mamy prostą \(y=2x-1\). Wnętrze \(A\) to zbiór punktów, których pewne otoczenia są zawarte w \(A\), więc wnętrze tej prostej w metryce kolejowej to \(\emptyset\) (prosta nie przechodzi przez środek układu współrzędnych).
Dla każdego zbioru \(A\) mamy \(\partial A=\textrm{cl}A\setminus\textrm{Int}A\).
Domknięcie tej prostej w metryce kolejowej to właśnie ta prosta, ponieważ dla każdego punktu spoza niej można wskazać jego otoczenie, które jej nie przecina. Zatem na podstawie powyższej zależności brzeg tej prostej to \(\emptyset\).
Dla każdego zbioru \(A\) mamy \(\partial A=\textrm{cl}A\setminus\textrm{Int}A\).
Domknięcie tej prostej w metryce kolejowej to właśnie ta prosta, ponieważ dla każdego punktu spoza niej można wskazać jego otoczenie, które jej nie przecina. Zatem na podstawie powyższej zależności brzeg tej prostej to \(\emptyset\).
Korki z matmy, rozwiązywanie zadań
info na priv
info na priv
-
- Fachowiec
- Posty: 1070
- Rejestracja: 07 maja 2010, 12:48
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 357 razy
Re: Topologia-ciągłość i metryka.
3. Funkcja \(\rho\) nie może być metryką, bo jej dziedziną nie jest cała przestrzeń \(\left(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\right)^2\). Np. dla funkcji \(f(x)=x,\,g(x)=x^2\) \(\rho(f,g)\) nie istnieje. Metryka musi być w stanie mierzyć odległość między dowolnymi punktami przestrzeni topologicznej.
Korki z matmy, rozwiązywanie zadań
info na priv
info na priv
-
- Witam na forum
- Posty: 4
- Rejestracja: 25 cze 2012, 17:56
- Podziękowania: 4 razy
- Płeć:
Re: Topologia-ciągłość i metryka.
Kochani, baaardzo Wam dziekuje. Bardzo przepraszam, ze tak "na odwal" bez Techa...
Ad1. Tak oczywiscie funkcja \((-1)^x\).
Jeszcze raz BARDZO dziekuje.
Ad1. Tak oczywiscie funkcja \((-1)^x\).
Jeszcze raz BARDZO dziekuje.
-
- Witam na forum
- Posty: 4
- Rejestracja: 25 cze 2012, 17:56
- Podziękowania: 4 razy
- Płeć:
-
- Fachowiec
- Posty: 1070
- Rejestracja: 07 maja 2010, 12:48
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 357 razy
Re: Topologia-ciągłość i metryka.
My, Crazy Driver, odpowiadamy, że nie ma za co.
Co do zadania 1, to skorzystam z następującej definicji ciągłości:
\(f\in C(X,Y)\quad\Leftrightarrow\quad \forall U\in\mathcal{T}(Y)\quad f^{-1}(U)\in\mathcal{T}(X)\)
Sprawdzamy dla \(U=\left\{1\right\}\):
\(f^{-1}(U)=\left\{0\right\}\not\in\mathcal{T}(X)\).
Zatem \(f\) nie jest ciągła. Co do \(f^{-1}\), to zacząłbym od tego, że \(f\) nie jest bijekcją \(X\) na \(Y\), więc nie możemy bez dodatkowych obostrzeń mówić o \(f^{-1}\).
Co do zadania 1, to skorzystam z następującej definicji ciągłości:
\(f\in C(X,Y)\quad\Leftrightarrow\quad \forall U\in\mathcal{T}(Y)\quad f^{-1}(U)\in\mathcal{T}(X)\)
Sprawdzamy dla \(U=\left\{1\right\}\):
\(f^{-1}(U)=\left\{0\right\}\not\in\mathcal{T}(X)\).
Zatem \(f\) nie jest ciągła. Co do \(f^{-1}\), to zacząłbym od tego, że \(f\) nie jest bijekcją \(X\) na \(Y\), więc nie możemy bez dodatkowych obostrzeń mówić o \(f^{-1}\).
Korki z matmy, rozwiązywanie zadań
info na priv
info na priv
-
- Fachowiec
- Posty: 1070
- Rejestracja: 07 maja 2010, 12:48
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 357 razy
Re:
\(2\) oznacza tutaj potęgę kartezjańską. \(\left(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\right)^2=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\times\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\).Wojtek1990 pisze: I mam jeszcze pytanie do odp do zadnia 3. Czym jest zbiór \((R^{R})^{2}\).
Ogólnie: \(A^n=\prod_{k=1}^nA\)
Wzajemnie.Miłego wieczoru
Korki z matmy, rozwiązywanie zadań
info na priv
info na priv
-
- Witam na forum
- Posty: 4
- Rejestracja: 25 cze 2012, 17:56
- Podziękowania: 4 razy
- Płeć: