Trzeba policzyć środki ciężkości brył. Z góry dzięki. Oto one:
Środek ciężkości 2 brył
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
greenballz
- Dopiero zaczynam
- Posty: 20
- Rejestracja: 11 gru 2011, 14:30
- Lokalizacja: Opole
- Podziękowania: 15 razy
- Płeć:
Środek ciężkości 2 brył
Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu 2 zadanek Trzeba policzyć środki ciężkości brył. Z góry dzięki. Oto one:
Trzeba policzyć środki ciężkości brył. Z góry dzięki. Oto one:"Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former."
Albert Einstein
Albert Einstein
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Obie bryły mają oś symetrii, więc środki ciężkości leżą na niej. Pozostaje znalezienie współrzędnej \(z\) środków.
Środek ciężkości półkuli:
\(S_z=\frac{\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{r^2-z^2}} zR\,dRd\varphi dz}{\frac{2}{3}\pi r^3}=\frac{3}{4\pi r^3}\int_0^r\int_0^{2\pi}(r^2-z^2)z\,d\varphi dz=\frac{3}{2r^3}\int_0^r(r^2-z^2)z\,dz=
=\frac{3}{8}r\)
stąd środek ciężkości całej figury:
\(S_z=\frac{\frac{1}{2}h\cdot \pi r^2h+\(\frac{3}{8}r+h\)\cdot \frac{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2h+\frac{2}{3}\pi r^3}=\frac{\frac{1}{2}h^2+\frac{1}{4}r^2+\frac{2}{3}hr}{h+\frac{2}{3}r}\)
Teraz ostrosłup:
\(S_z=\frac{\int_0^h\int_0^{a\(1-\frac{z}{h}\)}\int_0^{a\(1-\frac{z}{h}\)} z\,dxdydz}{\frac{1}{3}a^2h}=\frac{3}{a^2h}\int_0^h\int_0^{a\(1-\frac{z}{h}\)}za\(1-\frac{z}{h}\)\,dydz=\frac{3}{a^2h}\int_0^hza^2\(1-\frac{z}{h}\)^2\,dz=
=\frac{3}{h}\int_0^h z-\frac{2z^2}{h}+\frac{z^3}{h^2}\,dz=\frac{1}{4}h\)
czyli dla całej bryły:
\(S_z=\frac{\frac{1}{2}h_1\cdot a^2h_1+\(\frac{1}{4}h_2+h_1\)\cdot\frac{1}{3}a^2h_2}{a^2h_1+\frac{1}{3}a^2h_2}=\frac{\frac{1}{2}h_1^2+\frac{1}{12}h_2^2+\frac{1}{3}h_1h_2}{h_1+\frac{1}{3}h_2}\)
Środek ciężkości półkuli:
\(S_z=\frac{\int_0^r\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{r^2-z^2}} zR\,dRd\varphi dz}{\frac{2}{3}\pi r^3}=\frac{3}{4\pi r^3}\int_0^r\int_0^{2\pi}(r^2-z^2)z\,d\varphi dz=\frac{3}{2r^3}\int_0^r(r^2-z^2)z\,dz=
=\frac{3}{8}r\)
stąd środek ciężkości całej figury:
\(S_z=\frac{\frac{1}{2}h\cdot \pi r^2h+\(\frac{3}{8}r+h\)\cdot \frac{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2h+\frac{2}{3}\pi r^3}=\frac{\frac{1}{2}h^2+\frac{1}{4}r^2+\frac{2}{3}hr}{h+\frac{2}{3}r}\)
Teraz ostrosłup:
\(S_z=\frac{\int_0^h\int_0^{a\(1-\frac{z}{h}\)}\int_0^{a\(1-\frac{z}{h}\)} z\,dxdydz}{\frac{1}{3}a^2h}=\frac{3}{a^2h}\int_0^h\int_0^{a\(1-\frac{z}{h}\)}za\(1-\frac{z}{h}\)\,dydz=\frac{3}{a^2h}\int_0^hza^2\(1-\frac{z}{h}\)^2\,dz=
=\frac{3}{h}\int_0^h z-\frac{2z^2}{h}+\frac{z^3}{h^2}\,dz=\frac{1}{4}h\)
czyli dla całej bryły:
\(S_z=\frac{\frac{1}{2}h_1\cdot a^2h_1+\(\frac{1}{4}h_2+h_1\)\cdot\frac{1}{3}a^2h_2}{a^2h_1+\frac{1}{3}a^2h_2}=\frac{\frac{1}{2}h_1^2+\frac{1}{12}h_2^2+\frac{1}{3}h_1h_2}{h_1+\frac{1}{3}h_2}\)