Indukcja matematyczna

[Krycho]

Mam 2 zadania. Jedno zrobilem i chce sie dowiedziec czy dobrze mysle, a z drugim potrzebuje troche pomocy.

1.
\(3^n>2^n^+^1\)

1. Sprawdzam n=1
\(L=3^1=3
P=2^2=4
L<P\)
Nie zgadza sie czyli sprawdzam dalej.

Spr. n=2
\(L=3^2=9
P=2^3=8
L>P\)

Zgadza sie czyli robie dalej.

2. Zalozenie indukcyjne
\(3^n>2^n^+^1\)

Teza indukcyjna
\(3^n^+^1>2^n^+^2\)

Dowod
\(L=3^n^+^1=3^n*3=3^n+3^n*2>2^n^+^2\)
\(3^n+3^n*2>2^n^+^1+2^n*2\)

Z zalozenia indukcyjnego wiem ze \(3^n>2^n^+^1\) czyli musze pokazac ze \(3^n*2>2^n*2\) co jest prawda, czyli ta nierownosc jest prawdziwa dla \(n>=2\)

2.
\(\frac {1} {n+1}+\frac {1} {n+2} +\frac {1} {n+3}+...+\frac {1} {2n} > \frac {13} {14}\)

I teraz nie wiem czy dobrze sprawdzam ze

1. Spr. n=1
\(L=\frac {1} {2}+\frac {1} {3} +\frac {1} {4}+...+\frac {1} {2} > \frac {13} {14}\)

2. Zalozenie ind.
\(\frac {1} {n+1}+\frac {1} {n+2} +\frac {1} {n+3}+...+\frac {1} {2n} > \frac {13} {14}\)
Teza ind.
\(\frac {1} {n+2}+\frac {1} {n+3} +\frac {1} {n+4}+...+\frac {1} {2n}+\frac {1} {2n+2} > \frac {13} {14}\)
Dowod
\(L=\frac {1} {n+2}+\frac {1} {n+3} +\frac {1} {n+4}+...+\frac {1} {2n+2}\)

Nie wiem czy dobrze mysle, ze z zalozenia wynika ze pierwsza czesc do \(...+\frac {1} {2n}\) jest wieksza od \(\frac {13} {14}\) czyli cala suma bedzie wieksza, dlatego rownanie jest prawdziwe dla \(n>=1\)

Zapewne sie myle, dlatego prosze mnie poprawic

[anka]

2.
1. Spr. n=1
\(L=\frac {1} {2}+\frac {1} {3} +\frac {1} {4}+...+\frac {1} {2} > \frac {13} {14}\)

\(L=\frac {1} {2} > \frac {13} {14}\)
Fałsz

[Krycho]

Czyli biore tylko wyraz stojacy po ... i z niego licze czy nierownosc jest spelniona? Czyli w wypadku tego przykladu nierownosc nie jest spelniona dla zadnego n?

Pierwsze zadanie dobrze?

[anka]

Pierwsze wydaje się dobrze, drugie też jest prawdziwe, ale dla n>=2

\(\frac {1} {n+1}+\frac {1} {n+2} +\frac {1} {n+3}+...+\frac {1} {2n}\)
ostatni wyraz musi być parzysty więc wyraz pierwszy jest jednocześnie ostatnim dla n=1

dowód się nie zmieni, i też wydaje mi się dobry, zmień tylko założenie, tak jak to robiłeś w zadaniu 1
czyli spr dla n=1
spr dla n=2

[Krycho]

Pogubilem sie juz. Przeciez dla n=2 \(L=\frac {1} {4}<\frac {13} {14}\), czyli tez jest falszywe, L musi byc wieksze od P.

[anka]

A niech to sprawdzałam < zamiast >
\(\frac {1} {n+1}+\frac {1} {n+2} +\frac {1} {n+3}+...+\frac {1} {2n}\)
dla n=2 ostatnim wyrazem jest \(\frac{1}{4}\)
\(\frac {1} {2+1}+\frac {1} {2+2}=\frac{7}{12}<\frac{13}{14}\)
n=3 ostatni wyraz jest \(\frac{1}{6}\)
\(\frac {1} {4}+\frac {1} {5}+\frac {1} {6}=\frac{7}{12}<\frac{13}{14}\)

Może tam ma być znak <?

[Krycho]

W zadaniu mam > czyli po prostu twierdzenie jest falszywe. Zaden n go nie spelnia i tyle.