objetość bryły

[longer19]

Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu dookoła osi OX obszaru ograniczonego parabolą \(-x^2+8x-4y=0\) i prostą \(4y=x+6\)

[alexx17]

Najpierw liczymy granice całkowania:

\(\frac{-x^2+8x}{4}= \frac{x+6}{4}\\ -x^2+8x-x-6=0\\ .\\.\\. \\ x=1 \ \ \vee \ \ x=6\)

\(\int_{1}^{6} \pi\[ \(\frac{-x^2+8x}{4}\)^2 - \( \frac{x+6}{4}\)^2 \] \mathbb{d}x=...= \frac{125}{4}\pi\)

Jak nie ogarniesz całki to daj znać.

[longer19]

Nie ogarniam, mógłbyś mi pomóc. Bardzo proszę

[alexx17]

Czego nie ogarniasz w takim razie? Tylko całki czy wszystkiego?

[longer19]

Całki nie ogarniam

[alexx17]

Policzmy najpierw całkę nieoznaczoną:

\(\int \[ \(\frac{-x^2+8x}{4}\)^2 - \( \frac{x+6}{4}\)^2 \] \mathbb{d}x = \int \[ \frac{x^4-16x^3+64x^2}{16} - \frac{x^2+12x+36}{16} \]\mathbb{d}x=\\= \int \[\frac{x^4-16x^3+63x^2-12x-36}{16}\] \mathbb{d} x=\\= \(\frac{1}{16} \int x^4\mathbb{d} x - \int x^3\mathbb{d} x +\frac{63}{16} \int x^2\mathbb{d} x -\frac{3}{4} \int x\mathbb{d} x - \frac{9}{4}\int \mathbb{d} x \)=\\= \frac{1}{80} x^5 - \frac{1}{4} x^4 +\frac{21}{16} x^3- \frac{3}{8} x^2 - \frac{9}{4}x\)

Pozostaje podstawienie górnej i dolnej granicy całkowania i pomnożenie przez \(\pi\)

[longer19]

czyli tak mam podstawić??
\(\\= \frac{1}{80} [6^5-1] - \frac{1}{4} [6^4-1] +\frac{21}{16} [6^3-1]- \frac{3}{8} [6^2-1] - \frac{9}{4}[5]\)

[alexx17]

Właśnie tak.

[longer19]

I wyszło w końcu \(\frac{125}{4} \pi\)

[alexx17]

Zwykle mechaniczne liczenie..

\(= \frac{7775}{80} - \frac{1295}{4} + \frac{4515}{16}-\frac{105}{8} - \frac{45}{4}= \frac{1555-5180+4515-210-180}{16}=\frac{500}{16}= \frac{125}{4}\)