trygonometria p.rozszerzony

[noregrets]

zad.1 Dla jakich wartości parametru m równanie \(sinx \cdot cos(x - \frac{\pi}{5})+3=4sinm-sin(x- \frac{\pi}{5}) \cdot cosx\) nie jest sprzeczne?

Zad.2. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(sin^24x=4- \frac{m+10}{2m}\) ma rozwiązania.

Zad.3
Dla jakich wartości parametru a równanie \(| 3-4sinx | =a^2+3\) jest sprzeczne ?

Zad.4. Wyznacz liczbę dodatnich rozwiązań równania \(1-|x-4|= 2sinm\) w zależności od parametru m.

[radagast]

Zad.1.
\(sinx \cdot cos(x - \frac{\pi}{5})+3=4sinm-sin(x- \frac{\pi}{5}) \cdot cosx\)
\(sinx \cdot cos(x - \frac{\pi}{5})+sin(x- \frac{\pi}{5}) \cdot cosx=4sinm-3\)
\(sin(x+x - \frac{\pi}{5})=4sinm-3\)
\(sin(2x - \frac{\pi}{5})=4sinm-3\)
aby równanie nie było sprzeczne potrzeba i wystarcza by
\(-1 \le 4sinm-3 \le 1\)
\(2 \le 4sinm \le 4\)
\(\frac{1}{2} \le sinm \le 1\)
\(m \in \left( \frac{ \pi }{6}+2k \pi ,\frac{ 5\pi }{6}+2k \pi \right)\ \ , \ \ k \in C\)

[josselyn]

3
\(-1 \le sin x \le 1\) \(/*(-4)\)
\(4 \ge -4sin x \ge -4\) \(/+3\)
\(7 \ge -4sin x +3 \ge-1\)
\(0 \ge |-4sin x +3 \le 7\)
\(a^2+3 \ge 3\)
zatem nie ma sensu dla
\(a^2+3>7\)
\(x \in (- \infty,-2) \cup (2; \infty)\)
2
\(0 \le 4- \frac{m+10}{2m} \le 1\)

[radagast]

Zad.2.
Równanie
\(sin^24x=4- \frac{m+10}{2m}\) ma rozwiązanie wtedy i wyłącznie wtedy gdy
\(0 \le 4- \frac{m+10}{2m} \le 1\)
\(-4\le - \frac{m+10}{2m} \le -3\)
\(3\le \frac{m+10}{2m} \le 4\)
\(\frac{m+10}{2m} \le 4 \wedge \frac{m+10}{2m} \ge 3\)

\(\frac{m+10}{2m}- \frac{8m}{2m} \le 0 \wedge \frac{m+10}{2m}- \frac{6m}{2m} \ge 0\)

\(\frac{10-7m}{2m} \le 0 \wedge \frac{10-5m}{2m} \ge 0\)

\(m(10-7m) \le 0 \wedge m (10-5m) \ge 0\)

\(x \in \left< \frac{10}{7}, \frac{10}{5} \right>\)

[noregrets]

mógłby ktoś rozwiązać zad4 albo podać chociaż jakieś wskazówki?

[josselyn]

zad 4
http://matematyka.pisz.pl/forum/138530.html