Rozwinąć w szereg potęgowy

[bunio244]

Rozwinąć w szereg potęgowy Maclaurina funkcję \(f(x)= \sqrt{2x+1}\)

[bunio244]

rozwiąże ktoś? ;p

[octahedron]

\(f^{(n)}(x)=(-1)^{n}\frac{\prod_{k=0}^{n-1}(2k-1)}{(\sqrt{2x+1})^{2n-1}}
f^{(n)}(0)=(-1)^{n}\prod_{k=0}^{n-1}(2k-1)
f(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\prod_{k=0}^{n-1}(2k-1)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
a_0=a_1=1
a_{n+1}=-a_n\frac{2n-1}{n+1}\)

[chris_f]

Przypomnijmy, że szereg Maclaurina to specjalny przypadek szeregu Taylora w którym \(x_0=0\) i wyraża się wzorem
\(f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\), gdzie zapis \(f^{(n)}(x)\) oznacza n-tą pochodną funkcji f, przy czym \(f^{(0)}(x)=f(x)\). Obliczmy zatem pochodne funkcji i ich wartości w zerze
\(f(x)=(2x+1)^{\frac12}\quad\quad\quad\quad f(0)=1\)
\(f'(x)=2\cdot\frac12(2x+1)^{-\frac12}=(2x+1)^{-\frac12}\quad\quad\quad\quad f'(0)=1\)
\(f''(x)=2\cdot\left(-\frac12\right)(2x+1)^{-\frac32}=-(2x+1)^{-\frac32}\quad\quad\quad\quad f''(0)=-1\cdot1=-1!!\)
\(f^{(3)}(x)=-1\cdot2\cdot\left(-\frac32\right)(2x+1)^{-\frac52}=1\cdot3(2x+1)^{-\frac52}\quad\quad\quad\quad f^{(3)}(0)=1\cdot3=3!!\)
\(f^{(4)}(x)=1\cdot3\cdot2\cdot\left(-\frac52\right)(2x+1)^{-\frac72}=-1\cdot3\cdot5(2x+1)^{-\frac72}\quad\quad\quad\quad f^{(4)}(0)=-1\cdot3\cdot5=-5!!\)
\(f^{(5)}(x)=-1\cdot3\cdot5\cdot2\cdot\left(-\frac72\right)(2x+1)^{-\frac92}=1\cdot3\cdot5\cdot7(2x+1)^{-\frac92}\quad\quad\quad\quad f^{(5)}(0)=1\cdot3\cdot5\cdot7=7!!\)
\(\vdots\)
\(\vdots\)
\(f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\cdot1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-5)\cdot2\cdot\left(\frac{2n-3}{2}\right)(2x+1)^{-\frac{2n-1}{2}}=
(-1)^{n+1}\cdot1\cdot\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-5)\cdot(2n-3)(2x+1)^{-\frac{2n-1}{2}}\quad\quad\quad\quad
f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}\cdot1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-3)=(-1)^{n+1}(2n-3)!!\)
Podstawiając to do wzoru (dla wygody sumowanie rozpoczniemy od n=2) otrzymamy

\(f(x)=1+x+\sum\limits_{n=2}^\infty(-1)^{n+1}\cdot\frac{(2n-3)!!}{n!}x^n\)