Całki - pole obszaru, długość łuku krzywej...

[malgosia1402]

.

[radagast]

zad. 1 Obliczyć pole obszaru ograniczonego:
a) wykresami funkcji y=tgx i y=ctgx oraz osią OX

Przypuszczam, ze chodzi o takie pole (oczywiście podwojone)

ScreenHunter_167.jpg (14.16 KiB) Przejrzano 2174 razy

jeśli tak to: \(P= 2\int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } tgx dx= -2\left[ ln |cosx|\right] _{0}^{ \frac{ \pi }{4} }=-2 ln \frac{ \sqrt{2} }{2}=ln2\)

[radagast]

zad. 2 Obliczyć długość łuku krzywej:
a) \(y= \sqrt{x-x^{2}}+arcsin\sqrt{x}\)w całej dziedzinie

http://www.youtube.com/watch?v=6k974uSs8UE

A zatem:
\(y'= \frac{1-x}{ \sqrt{x-x^2} }\) (oczywiście troszkę tu trzeba poprzekształcać- dasz radę?)
\((y')^2= \frac{1}{x}-1\) (tu też)
no to
\(l= \int_{0}^{1} \sqrt{1+(y')^2} dx=\int_{0}^{1} \sqrt{ \frac{1}{x} } dx=\int_{0}^{1} x^{- \frac{1}{2}} dx= \left[ 2x^{ \frac{1}{2} } \right]_{0}^{1}=2\)

[radagast]

zad.3 Wyprowadzić wzory na objętość:
a) kuli o promieniu R

http://www.youtube.com/watch?v=_wUNgYgmuk8
kula o promieniu R powstaje przez obrót wykresu funkcji \(y= \sqrt{R^2-x^2}\) zadanej w przedziale \(\left(-R,R \right)\) wokół osi OX. Zatem
\(V= \int_{-R}^{R} \pi (R^2-x^2)dx=2\int_{0}^{R} \pi (R^2-x^2)dx= 2\pi \left[R^2x- \frac{1}{3}x^3 \right] _{0}^{R}= 2\pi \left[R^3- \frac{1}{3} R^3\right]=2 \pi \cdot \frac{2}{3}R^3= \frac{4}{3} \pi R^3\)

[radagast]

zad. 4 Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu wokół osi OX figury:
\(\begin{cases} 0 \le x \le 1\\ x^{2} \le y \le \sqrt{x} \end{cases}\)

\(V= \int_{0}^{1} \pi (x-x^4)dx= \pi \left[ \frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{5}x^5 \right]_{0}^{1}= \frac{ \pi }{2}- \frac{ \pi }{5}=0,3 \pi\)

[radagast]

zad. 5 Obliczyć pole powierzchni bryły powstałej z obrotu wokół osi OX figury:
\(\begin{cases} 0 \le x \le 1 \\ 0 \le y \le 2\sqrt{x} \end{cases}\)

http://www.youtube.com/watch?v=2IUxLeOrYo4
linie wyznające powierzchnię obrotową przecinają się w punkcie o odciętej 2 (rzędna nas nie obchodzi)
Zatem
Pole powierzchni bocznej:
\(P_b=2 \pi \int_{0}^{2}2 \sqrt{x} \sqrt{1+(y')^2} dx=2 \pi \int_{0}^{2}2 \sqrt{x} \sqrt{1+ \frac{1}{x} } dx=4 \pi \int_{0}^{2} \sqrt{x+ 1} dx=4 \pi \left[ \frac{2}{3}(x+1)^{ \frac{3}{2} } \right]_{0}^{2}= \frac{8}{3} \pi \left( \sqrt{27}-1 \right)=
\frac{8}{3} \pi \left( 3\sqrt{3}-1 \right)=8 \pi \sqrt{3} -\frac{8}{3} \pi\)
Pole podstawy:
\(P_p= \pi \cdot 1^2= \pi\)
pole całkowite:
\(P=P_b+P_p=8 \pi \sqrt{3} -\frac{8}{3} \pi+ \pi =8 \pi \sqrt{3} -\frac{5}{3} \pi\)

[malgosia1402]

.

[malgosia1402]

.

[malgosia1402]

.