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octahedron
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Wzór Leibniza:
\([f(x)g(x)]^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}f(x)^{(k)}g(x)^{(n-k)}
\(x^{n-1}\)^{(k)}=\frac{(n-1)!}{(n-k-1)!}\cdot x^{n-k-1}
\(x^{n-1}\)^{(n)}=0
\(\ln x\)^{(n-k)}=(-1)^{n-k-1}\cdot\frac{(n-k-1)!}{x^{n-k}}
(x^{n-1}\ln x)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}(x^{n-1})^{(k)}(\ln x)^{(n-k)}=\sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}\frac{(n-1)!}{(n-k-1)!}\cdot x^{n-k-1}\cdot(-1)^{n-k-1}\cdot\frac{(n-k-1)!}{x^{n-k}}=\\=\sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}(n-1)!\cdot \frac{1}{x}\cdot(-1)^{n-k-1}=\frac{(n-1)!}{x}\cdot\[-\sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}(-1)^{n-k}\]=\frac{(n-1)!}{x}\cdot\[1-\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}1^k\cdot(-1)^{n-k}\]=\\=\frac{(n-1)!}{x}\cdot\[1-(1-1)^n\]=\frac{(n-1)!}{x}\)
\([f(x)g(x)]^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}f(x)^{(k)}g(x)^{(n-k)}
\(x^{n-1}\)^{(k)}=\frac{(n-1)!}{(n-k-1)!}\cdot x^{n-k-1}
\(x^{n-1}\)^{(n)}=0
\(\ln x\)^{(n-k)}=(-1)^{n-k-1}\cdot\frac{(n-k-1)!}{x^{n-k}}
(x^{n-1}\ln x)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}(x^{n-1})^{(k)}(\ln x)^{(n-k)}=\sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}\frac{(n-1)!}{(n-k-1)!}\cdot x^{n-k-1}\cdot(-1)^{n-k-1}\cdot\frac{(n-k-1)!}{x^{n-k}}=\\=\sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}(n-1)!\cdot \frac{1}{x}\cdot(-1)^{n-k-1}=\frac{(n-1)!}{x}\cdot\[-\sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}(-1)^{n-k}\]=\frac{(n-1)!}{x}\cdot\[1-\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}1^k\cdot(-1)^{n-k}\]=\\=\frac{(n-1)!}{x}\cdot\[1-(1-1)^n\]=\frac{(n-1)!}{x}\)