granica funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
MrVonzky
- Stały bywalec
- Posty: 422
- Rejestracja: 10 lis 2009, 18:47
- Podziękowania: 94 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
granica funkcji
\(\lim_{x\to \infty} x( \sqrt{1 + sin {\frac{1}{2x}} } -1 )\), wciągnąłem x, sprzężyłem i podzieliłem licznik i mianownik przez x, wyszło 0, odpowiedź błędna...
-
radagast
- Guru
- Posty: 17552
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7436 razy
- Płeć:
\(\lim_{x\to \infty} x( \sqrt{1 + sin {\frac{1}{2x}} } -1 )= \left( \frac{1}{2x}=t\\x= \frac{1}{2t} \\ \lim_{x\to \infty }t=0 \right) =\lim_{t\to 0} \frac{( \sqrt{1 + sin {t} } -1 )}{2t} =\lim_{t\to 0} \frac{( \sqrt{1 + sin {t}} -1 )( \sqrt{1 + sin {t}} +1 )}{2t( \sqrt{1 + sin {t}} +1 )} =
\lim_{t\to 0} \frac{sint}{2t( \sqrt{1 + sin {t}} +1 )} = \frac{1}{2}\lim_{t\to 0} \frac{sint}{t} \cdot \lim_{t\to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + sin {t}} +1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{4}\)
\lim_{t\to 0} \frac{sint}{2t( \sqrt{1 + sin {t}} +1 )} = \frac{1}{2}\lim_{t\to 0} \frac{sint}{t} \cdot \lim_{t\to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + sin {t}} +1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{4}\)