Obliczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej X o gęstości
\(f(x) = \begin{cases} ae^{ax}, \ \ x<0 \\ x \geq 0 \end{cases}\)
dla \(a>0\)
Zadanie z funkcją charakterystyczną zmiennej losowej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1656
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 429 razy
Re: Zadanie z funkcją charakterystyczną zmiennej losowej
Proszę znaleźć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej \( X \) o gęstości prawdopodobienstwa:
\( f(x) = \begin{cases} ae^{ax}, \ \ \text{gdy} \ \ x<0 \\ 0, \ \ \text{gdy} \ \ x \geq 0 \\ a>0.\end{cases} \)
Rozwiązanie
\( \phi(t) = E(e^{itx} = \int_{-\infty}^{0} e^{itx}\cdot ae^{ax}dx = a \int_{-\infty}^{0} e^{itx + ax}dx = \ \ ... \)
Wskazówka
\( e^{itx} = \cos(tx) + i\sin(tx).\)
\( f(x) = \begin{cases} ae^{ax}, \ \ \text{gdy} \ \ x<0 \\ 0, \ \ \text{gdy} \ \ x \geq 0 \\ a>0.\end{cases} \)
Rozwiązanie
\( \phi(t) = E(e^{itx} = \int_{-\infty}^{0} e^{itx}\cdot ae^{ax}dx = a \int_{-\infty}^{0} e^{itx + ax}dx = \ \ ... \)
Wskazówka
\( e^{itx} = \cos(tx) + i\sin(tx).\)